小题专练·作业(六)三角恒等变换、解三角形1．若角α的终边过点A(2,1)，则sin＝()A．－B．－C．D．解析由题意知cosα＝＝，所以sin＝－cosα＝－。故选A。答案A2．已知tanθ＝2，则＋sin2θ的值为()A．B．C．D．解析解法一：原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，将tanθ＝2代入，得原式＝。故选C。解法二：在平面直角坐标系xOy中，tanθ＝2＝，不妨设θ为锐角，角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上取点P(1,2)，则|OP|＝，由三角函数的定义，得sinθ＝，cosθ＝，所以＋sin2θ＝＋2＝。故选C。答案C3．若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α＝()A．－B．C．－D．解析解法一：由题意知，tanα＝－2，tan2α＝＝。故选D。解法二：由题意知，sinα＝－2cosα，tan2α＝＝＝。故选D。答案D4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若△ABC的面积为，则C＝()A．B．C．D．解析由题可知S△ABC＝absinC＝，所以a2＋b2－c2＝2absinC，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC。因为C∈(0，π)，所以C＝。故选C。答案C5．(2018·河南联考)线段的黄金分割点的定义：若点C在线段AB上，且满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点。在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos36°＝()A．B．C．D．解析不妨设AB＝2，利用黄金分割点的定义得AD＝－1，易知∠A＝∠ABD＝36°，故AD＝BD＝－1。在△ABD中，cos36°＝＝。故选B。答案B6．(2018·陕西调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已在a，b，c成等比数列，且cosB＝，则＋＝()A．B．C．D．解析由已知有b2＝ac，cosB＝，所以sinB＝＝。由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC，所以＋＝＋＝＝＝＝。故选D。答案D7．(2018·洛阳统考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则＝()A．B．C．D．解析由题意得b2＝ac，a2＝c2＋ac－bc，故a2＝c2＋b2－bc，则cosA＝＝＝。因为A∈(0，π)，所以A＝。根据正弦定理有＝，sin2B＝sinAsinC，故＝＝。故选B。答案B8．(2018·辽宁模拟)若a＝(cosx，sinx)，b＝(，－1)，且a⊥b，则tan2x＝________。解析由题意得cosx－sinx＝0，则tanx＝，所以tan2x＝＝＝－。答案－9．(2018·洛阳统考)已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝________。解析由题设有1＋2sinαcosα＝，所以sin2α＝，所以cos4α＝1－2sin22α＝1－＝。答案10．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________。解析根据题意，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即sinA＝，结合余弦定理可得2bccosA＝8，所以A为锐角，且cosA＝，从而求得bc＝，所以△ABC的面积为S＝bcsinA＝××＝。答案11．(2018·北京高考)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；的取值范围是________。解析△ABC的面积S＝acsinB＝(a2＋c2－b2)＝×2accosB，所以tanB＝，因为0°<∠B<180°，所以∠B＝60°。因为∠C为钝角，所以0°<∠A<30°，所以02，故的取值范围为(2，＋∞)。答案60°(2，＋∞)12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2b，△ABC的面积记作S，则下列结论一定成立的是()A．B>30°B．A＝2BC．cb，C错误；三角形面积S＝absinC＝b2sinC≤b2。故选D。答案D13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为()A．2B．3C．D.解析由a＝bcosC＋csinB及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB＝sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB＝1。因为B∈(0，π)，所以B＝。由S△ABC＝acsinB＝1＋，得ac＝2＋4。又b2＝a2＋c2－2accosB≥2ac－ac＝(2－)·(4＋2)＝4，当且仅当a＝c时等...
