常州市北郊中学高二年级周日抽考试卷学科：数学命题人：梁波12月2日一．填空题（每空5分,共70分，请将填空题答案填写在“填空题答题卡”中）：1.与椭圆有相同的焦点，且以为渐近线的双曲线方程为.2.判断方程所表示的曲线关于对称（填轴或轴或原点）.3.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线上,则该抛物线的方程为.4.若椭圆的离心率为,则的值为.5.方程表示椭圆的充要条件是.6.若点的坐标为,为抛物线的焦点,点在该抛物线上移动,为使得取得最小值,则点的坐标为.7.过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点,以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于.8.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点.若线段与的长分别为，则等于.9.已知双曲线的对称轴为坐标轴,两个顶点间的距离为2,焦点到渐近线的距离为,则双曲线的方程为.10.设动点到点的距离是到直线的距离的,则点的轨迹方程为.11.抛物线的焦点为,准线交轴于,过抛物线上的一点作于,则梯形的面积是.12.连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是.（填写所有正确选项的序号）①菱形；②有3条边相等的四边形；③梯形；④平行四边形；⑤有一组对角相等的四边形.13.等轴双曲线的两个顶点分别为，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于两点，则.14.设是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点,使,,,…组成公差为的等差数列,则的取值范围为.填空题答题卡⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁二．解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共90分）15.已知三点,,①求以,为焦点且过点的椭圆的标准方程；（8分）②设点关于直线的对称点分别为,求以为焦点且过点的双曲线的标准方程.（7分）16.已知抛物线的焦点为,是抛物线上横坐标为4,且位于轴上方的点,到抛物线准线的距离等于5,过作垂直于轴,垂足为,的中点为.①求抛物线的方程；（8分）②若过作,垂足为,求点的坐标.（7分）17.动点到两定点,连线的斜率的乘积为,试求点的轨迹方程,并讨论轨迹是什么曲线？（15分）18.某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图,某卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过此隧道？说明理由.（15分）19.从椭圆上一点向轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点,且它的长轴端点及短轴端点的连线∥.①求椭圆的离心率；（5分）②设是椭圆上任意一点,是右焦点,求的取值范围；（5分）③设是椭圆上任意一点,当时,延长与椭圆交于另一点,若△的面积为,求此时椭圆的方程.（5分）20.设点分别是双曲线的左顶点和右焦点,点是其右支上的动点（异于顶点）.①若△是直角三角形,求点的坐标；（8分）②求证：当点运动时,恒有成立.（7分）
