点到直线的距离-(2)VIP免费

主讲人：张景深点到直线的距离一、情景创设：引入课题：是指：过点P作L的垂线，P与垂足Q之间的长度何为点到直线的距离?PLQ二、探索新知：1、已知点P（-1，2）和直线L：2x+y-10=0，求P点到直线L的距离。分析：先求出过P点和L垂直的再求出L和L′的交点QL：2x+y-10=0L′QP（-1，2）直线L′：x-2y+5=0Q（3，4）∴|PQ|=522、已知点P（x。，y。）和直线L：Ax+By+C=0（P不在直线L上），试求P点到直线L的距离。思路一：利用两点的距离公式可以求|PQ|的长度。分析：要求|PQ|的长度∵P点坐标已知，∴只要求出Q点坐标就可以了。又∵Q点是直线PQ和直线L的交点又∵直线L的方程已知∴只要求出直线PQ的方程就可以了即：|PQ|Q点坐标直线PQ与直线L的交点直线PQ的方程直线PQ的斜率直线L的斜率OLPQ()x0,y0()x0,y0OLPQ分析：现在最关键的是如何选取第三点M,以构成一个直角三角形思路二：利用直角三角形也可以求|PQ|的长度。显示显示显示显示显示显示>xyoPQM>xyoPQM>yxQPMo返回返回M点为任意点，所以坐标不好求。所以，|PM|、|MQ|均不好求。>yxQPMo返回返回M点在x轴上，>xyoPQM相对而言|PM|,|MQ|易求一些，但计算量依然较大；PM//y轴似乎也不好求，但角∠MPQ与直线L的倾斜角有关，因此可以利用三角函数关系来求：|PQ|=|PM|cosMPQ∠>xyoPQM∠MPQ=α(α<900)或∠MPQ=180°─α(α>900）又∵cosMPQ∠=|cosα||sec|1211tg2211BA22||BAB具体分析具体分析再求|PM|再求|PM|问：∠MPQ与倾斜角α有什么关系呢？))∵α+∠1=90°)PMQxyo(α12)yxoPQMα123∵∠1=180°-α∴α+∠2=90°又∵∠MPQ+∠2=90°∴∠MPQ=α又∵∠1+∠2=90°∠MPQ+3=90∠°∴∠MPQ=180°-α返回返回下面求M点的坐标。设M（x1，y1）∵PM//y轴，∴x1=x。M点在直线L（Ax+By+C=0）上把M点坐标代入得：BCBAxy01因此|PM|=|y0-y1|||||||0000BCByAxBCBAxy∴|PQ|=|PM|cosMPQ∠2002||||||BABBCByAx2002||BACByAx),(00yx(PMQxyoαL思路三：QPxySR设A≠0，B≠0，L与x轴、y轴都相交，过P作x轴的平行线交L点过P作y轴的平行线交L于点01,yxR20,yxS由001CByAx020CByAx得ACByx01BCAxy02ACByAxxxPR0010BCByAxyyPS0020所以22PSPRPSCByAxABBA0022PSPRRSd因为2200BACByAxd所以A=0或B=0时公式仍然满足O公式的完善1.当A=0，即Ly⊥轴时PQxyoL2002||||BACByAxPQ2.当B=0，即Lx⊥轴时PQxyoL3.当P点在L上时，显示显示显示显示000CByAx公式成立公式明显成立公式成立公式结构特点2200||||BACByAxPQ（1）分子是P点坐标代入直线方程的一般式；（2）分母是直线方程中x、y系数的平方和的算术根，类似于勾股定理求斜边的长。巩固练习1（1）P（—2，3）到直线y=—2的距离是________（4）P（—1，1）到直线3x=2的距离是_________（2）P（2，—3）到直线x+2y+4=0的距离是_______（3）用公式解P（—1，2）到直线2x+y—10=0的距离是______3252510求平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离？535314解：在直线2x－7y－6=0上任取一点，如P(3,0)则两平行线的距离就是点P(3,0)到直线2x－7y+8=0的距离。（如图）因此，d=22)7(28073253143练习2思考?两条平行直线间的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线Ax+By+=0与Ax+By+=0的距离。2221BACC1C2C解：在直线上Ax+By+=0任取一点，如P(x0,y0)则两平行线的距离就是点P(x0,y0)到直线Ax+By+=0的距离。（如图）因此，d=22200BACByAx1C2C2221BACCP归纳总结（1）、点到直线的距离公式的推导和应用。（2）、平行线的距离公式的推导和应用。（3）、等价转化、数形结合等数学思想的应用。作业布置•1、课时作业：P5414、16•2、课后思考：可以看到，点到直线的距离其实也是定点P到直线上的任意点M长度的最小值。能否用此思想来推导点到直线的距离公式？谢谢当A=0，即Ly⊥轴时PQxyoL此时L：y=BC又PQ//y轴A=0：|)(|||0BCyPQ||||0BCBy22000|0|||BCByxPQ返回返回B=0：22000|0|||ACyAxPQPQxyoL返回返回当B=0，即Lx⊥轴时此时L：x=AC又PQ//x轴|)(|||0ACxPQ||||0ACAx