高二数学定积分与微积分基本定理知识精讲一.本周教学内容：定积分与微积分基本定理二.教学目的：1.了解定积分的定义和定积分的几何意义；2.会用定积分求一些平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力所做的功。三.重点、难点：定积分的定义和定积分的几何意义；微积分基本定理。［知识分析］知识点1：定积分的定义1.定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的．它的解决过程充分体现了变量“由直到曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限”的极限的思想方法，定积分是由实际问题中提出的，对定积分概念说明如下：（1）把闭区间［a，6］用n＋1个分点（包括两个端点）分为任意n个小区间，并非要求一定分成n等份，只是在有的问题中，为了解题方便，才用n等分的方法去布列分点．（2）在每个小区间上，点的取法是任意的，它可以取在小区间的中点，即，也可以取在小区间的两个端点，即或，还可以取在小区间的其他任何位置（i＝1，2，…，n）．（3）从几何意义上讲，（i＝1，2，…，n）表示以为底边，以为高的第i个小矩形的面积，而不是第i个小曲边梯形的面积，和式表示n个小矩形的面积的和，而不是真正的曲边梯形的面积，不过，和式可以近似地表示曲边梯形的面积，一般说来，分法越细，近似程度也就越高．（4）总和取极限时的极限过程为“”（），当分割无限变细，即时，不一定能保证和式的极限值就是曲边梯形的面积，只有在分点无限增多的同时，保证每个小区间的长度也无限地缩小，才是真正的曲边梯形的面积．（5）定积分是一个比较复杂的极限过程的极限值，定义实际上给出了定积分的一个计算方法，在实际问题中，由于它太繁琐，故很少使用．2.定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即（称为积分形式的不变性），另外定积分与积分区间［a，b］息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上、下限不同，所得的值也不同，例如与的值就不同。3.、、的几何意义上有不同的含意，绝不能等同看待，由于被积函数在闭区间［a,b］上可正可负，也就是它的图象可以在x轴上方，也可以在x轴下方，还可以在x轴的上下两侧，所以表示由x轴、函数的曲线及直线x＝a，x＝b之间各部分面积的代数和（如下图（1））；而被积函数是非负的，所以表示用心爱心专心119号编辑1在区间［a,b］上所有以为曲边的正曲边梯形的面（如图（2））；而则是的绝对值，三者的值一般是不相同的．知识点2：定积分的基本性质假设函数在所讨论的区间上都是可积的。性质1：常数因子可能提到积分号前，即，（k为常数）①这是由于性质2：代数和积分等于积分的代数和，即②因为这个性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况。性质3：（定积分的可加性）如果积分区间［a，b］被点c分成两个小区间［a，c］与［c，b］，则③知识点3：微积分基本定理微积分基本公式使我们得到了求定积分的一般方法（简单方法），不需要根据定义求和式的极限，只要求出被积函数的任一原函数，再计算原函数在积分区间上的改变量即可．关键是要找到被积函数的一个原函数．微积分基本定理如果，且在［a，b］上可积，则，其中F（x）叫做f（x）的一个原函数。即例1.求由直线和直线围成的图形面积解析：（1）分割用心爱心专心119号编辑2将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点把区间［0，1］等分成n个小区间：，简写作。每个小区间的长度为。过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作，△S1，△S2，…△Si，…，△Sn。（2）近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：在小区间上任取一点（i＝1，2，…，n），为了计算方便，取为小区间的左端点，用以点坐标为其一边，以小区间长度为邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为。（3）作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即①（4）求极限当公点数目愈多，即△x愈小时，从上图可以看出，和式①的值就愈接近曲边梯形的面积S。因此，当，即时，和式①的极限，就是所求的曲边梯形的面积。因为所以由直线x＝0...
