课时分层作业(十九)基本不等式与最大(小)值(建议用时：60分钟)一、选择题1．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是()A．3B．3－2C．3－2D．－1C[y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．]2．函数y＝log2(x>1)的最小值为()A．－3B．3C．4D．－4B[因为x＋＋5＝(x－1)＋＋6≥2＋6＝8．所以log2≥3，所以ymin＝3．当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．]3．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．36B[(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B．]4．已有x>1，y>1且xy＝16，则log2x·log2y()A．有最大值2B．等于4C．有最小值3D．有最大值4D[因为x>1，y>1，所以log2x>0，log2y>0．所以log2x·log2y≤＝＝4，当且仅当x＝y＝4时取等号．故选D．]5．若正数x，y满足x＋y＋15＝＋，则x＋y的最小值是()A．1B．C．D．2A[由已知得，(x＋y)2＋15(x＋y)＝＋(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，解得x＋y≥1或x＋y≤－16(舍去)，故x＋y的最小值为1．]二、填空题6．函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为．2[①当x∈(0,2)时，x,4－2x＞0，f(x)＝x(4－2x)≤＝2，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，等号成立．②当x≤0或x≥2时，f(x)≤0，故f(x)max＝2．]7．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为．1[设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为．]8．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为．8[因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，所以＋＝1，因为a>0，b>0，所以2a＋b＝(2a＋b)·＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，所以2a＋b的最小值为8．]三、解答题9．已知x，y＞0，且x＋2y＋xy＝30，求xy的范围．[解]因为x，y是正实数，故30＝x＋2y＋xy≥2＋xy，当且仅当x＝2y，即x＝6，y＝3时，等号成立．所以xy＋2－30≤0．令＝t，则t＞0，得t2＋2t－30≤0，解得－5≤t≤3．又t＞0，知0＜≤3，即xy的范围是(0,18]．10．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值．[解]由题意得＋＝＋＝＋－2＝＋(x＋y)－2＝8＋＋≥8＋2＝16．当且仅当即x＝，y＝时，等号成立．所以，＋的最小值为16．1．已知a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x，y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是()A．B．－C．1D．－1A[∵a⊥b则a·b＝0，∴4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴xy＝(2x)·y≤·＝，当且仅当2x＝y时，等号成立．]2．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为()A．B．C．2D．4D[圆方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a－2b＋2＝0，∴a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．]3．设x>－1，则函数y＝的最小值是．9[∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当t＝，即t＝2时取“＝”，此时x＝1．∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9．]24．等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为．[设这两个正方形的边长分别为a，b，则a＋b＝1，S＝a2＋b2≥2＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．]5．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)[解]设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得，f(x)＝Q(x)＋＝50x＋＋3000(x≥12，x∈N＋)，f(x)＝50x＋＋3000≥2＋3000＝5000(元)．当且仅当50x＝，即x＝20时，上式取“＝”．因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5000元．3
