课时分层作业(一)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列说法：①如果已知数列的通项公式，可求出数列中的任何一项；②数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列；③所有的数列都有通项公式，且只有一个；④数列1,2,3，…，n是无穷数列．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4A[①正确；②不正确，数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…不是同一数列；③不正确，有的数列没有通项公式，有的数列的通项公式不止一个；④不正确，数列1,2,3，…，n是有穷数列，共n项，故选A.]2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋2，则其第3,4项分别是()A．11,3B．11,15C．11,18D．13,18C[a3＝32＋2＝11，a4＝42＋2＝18.]3．已知数列{an}的通项公式为an＝25－2n，下列数中不是数列{an}的项的是()A．1B．－1C．2D．3C[由an＝25－2n，知a11＝3，a12＝1，a13＝－1，所以2不是数列{an}中的项．]4．已知数列的通项公式是an＝则该数列的前两项分别是()A．2,4B．2,2C．2,0D．1,2B[当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝22－2＝2.]5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝C．an＝D．an＝C[法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1,3,6,10，代入验证可知正确答案为C.法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察点的个数的增加趋势可以发现，a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，所以猜想an＝，故选C.]二、填空题6．数列，，，，…的一个通项公式为________．an＝(n∈N＋)[因为2＝12＋1,5＝22＋1,10＝32＋1,17＝42＋1，故an＝(n∈N＋)．]7．已知数列{an}的通项公式为an＝kn2－1，且a2＝3，则a8＝________.63[a2＝4k－1＝3，故k＝1，an＝n2－1，所以a8＝82－1＝63.]8．数列{an}的通项公式为an＝，则－3是此数列的第________项．9[令an＝＝－3，解得n＝9.]1三、解答题9．已知数列{n(n＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？[解](1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，所以a8＝80，a20＝440.(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17.所以323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项．10．已知数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数n的一次函数．(1)求数列{an}的通项公式；(2)88是否是数列{an}中的项？[解](1)设an＝an＋b.∴a1＝a＋b＝2，①a17＝17a＋b＝66.②②－①，得16a＝64，∴a＝4，b＝－2.∴an＝4n－2(n∈N＋)．(2)令4n－2＝88⇒4n＝90，n＝∉N＋.∴88不是数列{an}中的项．[能力提升练]1．数列，，，，…的第10项是()A.B.C.D.C[由数列的前四项，观察可知其通项公式为an＝，则a10＝＝.]2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中第25项为()A．6B．7C．8D．9B[数字共有n个，当数字n＝6时，有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21项，故第22项起数字为7至28项为止，故第25项为7.]3．已知数列{an}的通项公式为an＝sinnθ，0<θ<，若a3＝，则a15＝________.[a3＝sin3θ＝，又0<θ<，所以0<3θ<，所以3θ＝，所以a15＝sin15θ＝sinπ＝.]4．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________(n∈N＋)．图1图2[因为OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，∴OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，即a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.]5．已知无穷数列，，，，…(1)求出这个数列的一个通项公式；2(2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？若没有，请说明理由．[解](1)因为数列的分子依次为4,9,16,25，…可看成与项数n的关系式为(n＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，所以通项公式的分母可以为(n＋1)2＋1.所以数列的一个通项公式为an＝(n＝1,2，…)．(2)当≤an≤时，可得≤≤.由≥，解得(n＋1)2≥9，可得n≥2.由≤，解得(n＋1)2≤36，可得n≤5.所以2≤n≤5.综上所述，该数列在内有项，并且有4项.3
