分类与整合思想、转化与化归思想一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.1.若一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为____________.答案x＋y－7＝0或2x－5y＝0解析设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，将点(5,2)代入，求得a＝7，则直线方程为x＋y－7＝0.2.已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为________.答案32解析当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.因为Sn＝2an－2，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，两式相减得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，则数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，则S5－S4＝a5＝25＝32.3.已知集合A＝，B＝{x|mx－1＝0，m∈R}，若A∩B＝B，则所有符合条件的实数m组成的集合是________.答案{0，－1,2}解析因为A∩B＝B，所以B⊆A.若B为∅，则m＝0；若B≠∅，则－m－1＝0或m－1＝0，解得m＝－1或2.综上，m∈{0，－1,2}.4.设函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能取值的集合是________.答案解析f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1.当－1
0.若该曲线为椭圆，则有PF1＋PF2＝6t＝2a，F1F2＝3t＝2c，e＝＝＝＝；若该曲线为双曲线，则有PF1－PF2＝2t＝2a，F1F2＝3t＝2c，e＝＝＝＝.8.抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________.答案4解析当PO＝PF时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当OP＝OF时，点P的位置也有两个；对FO＝FP的情形，点P不存在.事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则FO＝p，FP＝，若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，又 y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形.当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P有4个.三、含参问题分类整合某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨2论中做到不重不漏，结论整合要周全.9.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率是________.答案或解析因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4，当m＝4时，圆锥曲线＋x2＝1是椭圆，其离心率e＝＝；当m＝－4时，圆锥曲线x2－＝1是双曲线，其离心率e＝＝＝.综上知，e＝或e＝.10.若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为________.答案[－1，＋∞)解析当a＝0时，f(x)＝4x－3在[0,2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋4x－3＝a2－3－，...
