【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.1直线的方程理1.直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°).2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tanα.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y1＝k(x－x1)不含直线x＝x1斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)平面直角坐标系内的直线都适用【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(√)(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(×)(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(×)(4)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(×)(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(×)(6)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.(×)(7)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示.(×)(8)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(√)1.直线x－y＋a＝0的倾斜角为.答案60°1解析化直线方程为y＝x＋a，∴k＝tanα＝. 0°≤α<180°，∴α＝60°.2.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第象限.答案三解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0.综上，直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.4.(教材改编)若过点A(m,4)与点B(1，m)的直线与直线x－2y＋4＝0平行，则m的值为.答案3解析 ＝，∴m＝3.5.直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为.答案∪解析直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.若l的倾斜角为α，则tanα≤1.又 α∈[0，π)，∴α∈∪.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的取值范围是.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为.答案(1)(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)解析(1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈，所以≤cosα≤，因此k＝2·cosα∈[1，].设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，].又θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.(2)如图，2 kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞).引申探究1.若将题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.解 P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，∴kAP＝＝，kBP＝＝.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2.将题(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.解如图：直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0).(1)直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是.(2)已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则的最大值为；最小值为.答案(1)∪(2)2解析(1)由xcosα＋y＋2＝0得直线斜率k＝－cosα. －1≤cosα≤1，∴－≤k≤.设直线的倾斜角为θ，则－≤tanθ≤.结合正切函数在∪上的图象可知，0≤θ≤或≤θ<π.(2)本题可先作出函数y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把看成过点(x，y)和原点的直线的斜率进行求3解.如图，设点P(x，y)，因为x，y满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，y)在线段AB上移动，并且A...
