第2课时范围、最值问题题型一范围问题例1(2015·天津)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，FM＝.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．解(1)由已知，有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有2＋2＝2，解得k＝.(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由FM＝＝.解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝，即直线FP的方程为y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，又由已知，得t＝＞，解得－＜x＜－1或－1＜x＜0.设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－.①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，因此m＞0，于是m＝，得m∈.②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)＞0，因此m＜0，于是m＝－，得m∈.综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．1(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．(2016·扬州模拟)如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，点M在PF1上，且满足F1M＝λMP(λ∈R)，PO⊥F2M，O为坐标原点．(1)若椭圆的方程为＋＝1，且点P的坐标为(2，)，求点M的横坐标；(2)若λ＝2，求椭圆离心率e的取值范围．解(1)因为椭圆的方程为＋＝1，所以点F1的坐标为(－2,0)，点F2的坐标为(2,0)，所以kOP＝，kF2M＝－，kF1M＝，所以直线F2M的方程为y＝－(x－2)，直线F1M的方程为y＝(x＋2)．联立解得x＝，所以点M的横坐标为.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，点M的坐标为(xM，yM)，因为F1M＝2MP，所以F1M＝(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)，所以点M的坐标为(x0－c，y0)，F2M＝(x0－c，y0)．因为PO⊥F2M，OP＝(x0，y0)，所以(x0－c)x0＋y＝0，即x＋y＝2cx0.联立消去y0，得c2x－2a2cx0＋a2(a2－c2)＝0，解得x0＝或x0＝.因为－a
.又椭圆离心率e∈(0,1)，故椭圆离心率e的取值范围为(，1)．题型二最值问题2命题点1利用三角函数有界性求最值例2(2016·徐州模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则AF·BF的最小值是________．答案4解析设直线AB的倾斜角为θ，可得AF＝，BF＝，则AF·BF＝×＝≥4.命题点2数形结合利用几何性质求最值例3(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________________________．答案解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4(2016·山东)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为2.(1)求椭圆C的方程．(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；②求直线AB的斜率的最小值．(1)解设椭圆的半焦距为c.由题意知2a＝4,2c＝2.所以a＝2，b＝＝.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)①证明设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)．由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，－2m)．所以直线PM的斜率k＝＝.直线QM的斜率k′＝＝－.此时＝－3.所...
