第5练三角函数的概念、三角恒等变换[明晰考情]1.命题角度：三角函数的概念和应用；利用三角恒等变换进行求值或化简.2.题目难度：单独考查概念和三角恒等变换，难度为中低档；三角恒等变换和其他知识交汇命题，难度为中档题.考点一任意角的三角函数要点重组(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.(2)三角函数：角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0).(3)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.1.在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量OP绕点O按逆时针方向旋转后得到向量OQ，则点Q的坐标是________.答案(－7，－)解析因为点O(0,0)，P(6,8)，所以OP＝(6,8)，设OP＝(10cosθ，10sinθ)，则cosθ＝，sinθ＝，因为向量OP绕点O按逆时针方向旋转后得到OQ，设Q(x，y)，则x＝10cos＝10＝－7，y＝10sin＝10＝－，所以点Q的坐标为.2.若角θ的终边过点P(3，－4)，则tan(θ＋π)＝________.答案－解析因为角θ的终边过点P(3，－4)，则tanθ＝－，则tan(θ＋π)＝tanθ＝－.3.已知角θ的终边经过点，若sinθ＝2sincos，则实数a＝________.答案－解析由题意知2sin2－1＝－cos＝－，得sinθ＝＝－2sincos＝－，且a<0，解得a＝－.4.函数y＝的定义域是__________________.答案，k∈Z考点二三角函数的求值与化简要点重组(1)同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.(2)诱导公式：角π±α(k∈Z)的三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限.1(3)和差公式.方法技巧(1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”：注意角的变形；看函数名称之间的关系；观察式子的结构特点.(2)公式的变形使用尤其是二倍角的余弦公式的变形是高考的热点，sin2α＝，cos2α＝.5.若sin＝，则sin的值为________.答案－解析 sin＝，∴sin＝cos＝cos＝cos2＝1－2sin2＝1－2×＝－.6.若tanα＝2tan，则＝________.答案3解析cos＝cos＝cos＝sin，所以原式＝＝＝＝＝3.7.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1,2)，B(5,1)，则tan(α－β)的值为________.答案解析 角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1,2)，B(5,1)，∴tanα＝2，tanβ＝，∴tan(α－β)＝＝＝.8.已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝________.答案解析因为0<β<<α<，所以<2α<π，－<－β<0，所以<2α－β<π.又因为cos(2α－β)＝－，所以sin(2α－β)＝.因为0<β<<α<，所以－<－2β<0，所以－<α－2β<.又因为sin(α－2β)＝，所以cos(α－2β)＝.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－×＋×＝.又因为＜α＋β＜，所以α＋β＝.考点三三角恒等变换的应用要点重组辅助角公式：asinα＋bcosα＝·sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.9.函数f(x)＝cos2x＋6cos的最大值为________.答案52解析由f(x)＝cos2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sinx＝－22＋，因为sinx∈[－1,1]，所以当sinx＝1时函数f(x)取得最大值，最大值为5.10.(2018·全国Ⅰ改编)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则|a－b|＝________.答案解析由cos2α＝，得cos2α－sin2α＝，∴＝，又cosα≠0，∴＝，∴tanα＝±，即＝±，∴|a－b|＝.11.设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.答案－解析f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，即当θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.12.函数f(x)＝sinx－cos的值域为________.答案[－，]解析f(x)＝sinx－cos＝sinx－＝sinx－cosx＝＝sin∈[－，].1.若sin＝，A∈，则sinA的值为________.答案解析 A∈，∴A＋∈，∴cos<0，∴cos＝－＝－，∴sinA＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.2.已知cos＝，则sin(π＋α)＝________.答案解析因为cos＝，...
