（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十一章 第60课 椭圆要点导学-人教版高三全册数学试题VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第十一章第60课椭圆要点导学要点导学各个击破求椭圆的方程已知点F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过点F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且AB=3,求椭圆C的方程.[思维引导]利用待定系数法求椭圆的方程,将直线x=1与椭圆方程联立解出A,B的纵坐标,然后用a,b表示出AB,解出a,b,即可求出椭圆C的方程.[解答]设椭圆C的方程为22xa+22yb=1(a>b>0),与直线x=1联立得y=±2ba(c=1),所以AB=22ba=3,即2b2=3a.由题意得b2=a2-1,所以2(a2-1)=3a,即2a2-3a-2=0,又a>0,解得a=2,所以b2=3,故椭圆C的方程为24x+23y=1.【题组强化·重点突破】1.(2014·冀州中学模拟)已知椭圆C1:24x+y2=1,椭圆C2以椭圆C1的长轴为短轴,椭圆且与椭圆C1有相同的离心率,求椭圆C2的方程.[解答]由已知可设椭圆C2的方程为22ya+24x=1(a>2),其离心率为32,故2-4aa=32,则a=4,所以椭圆C2的方程为216y+24x=1.2.(2014·济南外国语学校)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)过点31,2,且离心率e=12,求椭圆C的标准方程.[解答]因为椭圆C的离心率e=12,1所以ca=12,a=2c,b2=a2-c2=3c2.故可设椭圆C的方程为224xc+223yc=1.又因为点31,2在椭圆上,所以214c+22323c=1,所以c2=1,所以椭圆C的标准方程为24x+23y=1.3.已知椭圆的中心在原点O,短半轴的端点到其右焦点F(2,0)的距离为10,那么此椭圆的标准方程是.[答案]210x+26y=1[解析]由已知,可设椭圆的方程为22xa+22yb=1(a>b>0),则a=10,c=2,所以b=22-ac=10-4=6,所以椭圆的方程为210x+26y=1.4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率为12,那么椭圆C的方程是.[答案]24x+23y=1[解析]设椭圆C的方程为22xa+22yb=1(a>b>0),则c=1,e=12=ca,所以a=2,c=1,所以b=3.故椭圆C的方程为24x+23y=1.5.若椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3,则椭圆C的方程为.2[答案]24x+y2=1[解析]因为e=32=ca,所以a=23c,b=13c,代入a+b=3,得c=3,a=2,b=1,故椭圆C的方程为24x+y2=1.椭圆定义的应用已知△ABC的三边的长a,b,c(a>b>c)成等差数列,A,C两点的坐标分别为(-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹.[思维引导]由a,b,c(a>b>c)成等差数列,得BC+BA=2AC为定值,从而动点B在以点C,A为焦点的椭圆上,可用定义法求出椭圆方程,再结合其他条件删除多余的点.[解答]设点B的坐标为(x,y),因为a,b,c(a>b>c)成等差数列,所以a+c=2b,即BC+BA=4.由椭圆定义知,点B的轨迹方程为24x+23y=1.又因为a>b>c,所以BC>AB,所以(x-1)2+y2>(x+1)2+y2,所以x<0.所以点B的轨迹是椭圆的一半,其方程为24x+23y=1(x<0).又当x=-2时,点B,A,C在同一直线上,不能构成△ABC,所以x≠-2.所以顶点B的轨迹方程为24x+23y=1(-2b>0),由题意知c=1,设右焦点F'(1,0),因为2a=EF+EF'=2223(11)-03+233=23,所以a=3,b2=a2-c2=2.3所以椭圆的方程为23x+22y=1.椭圆性质的应用在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B.若∠BAO+∠BFO=90°,则椭圆的离心率是.[思维引导]根据所给几何条件,建立关于a,b,c的方程.[答案]5-12[解析]方法一:因为∠BAO+∠BFO=90°,所以sin∠BFO=cos∠BAO=cos∠BAF.在△ABF中,由正弦定理得BFsinBAF=ABsinAFB=ABsinBFO=ABcosBAF,即BFAB=sinBAFcosBAF,所以22aab=ba,所以a2=b22ab,即a4=(a2-c2)(2a2-c2),化简得e4-3e2+1=0,解得e2=23-5351,22e舍去,故e=5-12(负根舍去).方法二:易知∠BAF=∠FBO,所以Rt△BFO∽Rt△ABO,则FOBO=BOAO,即cb=ba,所以ac=b2=a2-c2,所以c2+ac-a2=0,即e2+e-1=0,解得e=5-12(负根舍去).方法三:设椭圆右顶点为C,连接BC,则∠BCO=∠BAF,所以∠BCO+∠BFC=90°,则BF2+BC2=CF2,即a2+a2+b2=(a+c)2,所以2a2-c2=2ac+c2,即c2+ac-a2=0,所以e2+e-1=0,解得e=5-12(负根舍去).[精要点评]椭圆离心率的求解主要是将所给几何条件进行转化,...