课时作业(十七)分析法A组基础巩固1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证法解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．答案：B2．设P＝，Q＝－，R＝－，那么P，Q，R的大小关系是()A．P＞Q＞RB．P＞R＞QC．Q＞P＞RD．Q＞R＞P解析：先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝－－(－)＝(＋)－(＋)．又(＋)2－(＋)2＝2－2＜0，∴Q＜R，由排除法可知，选B.答案：B3．要证－＜成立，a，b应满足的条件是()A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0有a＜bD．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b解析：要证－＜，只需证(－)3＜()3，即证a－b－3＋3＜a－b，即证＜，只需证ab2＜a2b，即证ab(b－a)＜0.只需ab＞0且b－a＜0或ab＜0，且b－a＞0.故选D.答案：D4．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，则P与Q的大小关系是()A．P＞QB．P≥QC．P＜QD．P≤Q解析：要比较P，Q的大小，只需比较P－Q与0的关系．因为P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2，又a，b，c不全相等，所以P－Q＞0，即P＞Q.答案：A5．下列不等式不成立的是()A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.＋＞(a＞0，b＞0)C.－＜－(a≥3)D.＋＞2解析：对A，因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对B，因为(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，所以＋＞；对C，要证－＜－(a≥3)成立，只需证明＋＜＋，两边平方得2a－3＋2＜2a－3＋2，即证＜，两边平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(＋)2－(2)2＝12＋4－24＝4(－3)＜0，所以＋＜2，故D错误．答案：D6．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是__________．解析：a＋b＞a＋b⇔a－a＞b－b⇔a(－)＞b(－)⇔(a－b)(－)＞0⇔(＋)(－)2＞0，只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≠b且a≥0，b≥07．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为__________．解析：根据条件可知，欲求＋＋的最小值．只需求(a＋b＋c)的最小值，因为(a＋b＋c)＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．答案：918．如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足__________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.答案：AC⊥BD(答案不唯一)9．若a，b，c为不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.证明：要证lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc，只需证lg≥lg(a·b·c)，即证··＞abc.因为a，b，c为不全相等的正数，所以≥＞0，≥＞0，≥＞0，且上述三式中等号不能同时成立，所以··＞abc成立，所以lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc成立．10．求证：2cos(α－β)－＝.证明：要证原等式，只需证：2cos(α－β)sinα－sin(2α－β)＝sinβ，①因为①左边＝2cos(α－β)sinα－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα＝sinβ.所以①成立，所以原等式成立．B组能力提升11．已知函数f(x)＝tanx，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]＞f.证明：要证[f(x1)＋f(x2)]＞f，只需证(tanx1＋tanx2)＞tan，只需证＞(“化切为弦”)，只需证＞，只需证＞，只需证明0＜cos(x1－x2)＜1.由x1，x2∈，且x1≠x2可知0＜cos(x1－x2)＜1成立．所以[f(x1)＋f(x2)]＞f.12．已知n∈N，且n＞1，求证：logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)．解析：要证明logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)，即证明logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＞0.(*)∵logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＝－logn＋1(n＋2)＝.又∵当n＞1时，logn＋1n＞0，且logn＋1(n＋2)＞0，logn＋1n≠logn＋1(n＋2)，∴logn＋1n·logn＋1(n＋2)＜[logn＋1n＋logn＋1(n＋2)]2＝log[n(n＋2)]＝log·(n2＋2n)＜log(n＋1)2＝1，故1－logn＋1n·logn＋1(n＋2)＞0，∴＞0.这说明(*)式成立，∴logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)．2
