课时跟踪检测（五十）双曲线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________．解析：由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点为(±4,0)，故焦点到渐近线的距离d＝2.答案：22．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是________．解析：依题意得m＜0，双曲线方程是x2－＝1，于是有＝2×1，m＝－.答案：－3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为________．解析：由渐近线互相垂直可知e＝.答案：4．已知双曲线的一个焦点F(0，)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为________________．解析：设双曲线的标准方程为－＝1，由题意得⇒⇒所以双曲线的标准方程为－x2＝1.答案：－x2＝15．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于______．解析：由题意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，所以其面积为×4×2＝4.答案：4二保高考，全练题型做到高考达标1．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于________．解析：由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.答案：92．已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线与直线2x－y＋3＝0垂直，则该双曲线的准线方程是________．解析：双曲线－y2＝1(a＞0)的渐近线为y＝±x，若其中一条与直线2x－y＋3＝0垂直，则有－×2＝－1，解得a＝2，∴双曲线－y2＝1的准线方程为x＝±＝±.答案：x＝±3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为______________________．解析：由题意得解得则b＝，故所求方程为x2－＝1.答案：x2－＝14．双曲线－＝1的两条渐近线与直线x＝1围成的三角形的面积为______．解析：由题知，双曲线的渐近线为y＝±x，故所求三角形的面积为×2×1＝.答案：5．(2016·无锡调研)若双曲线－＝1(a>0，b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是________．解析：由条件，得|OP|2＝2ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a，1又 c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥.答案：6．(2016·淮安模拟)设F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为________．解析：因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，故10a2＝4c2，故＝，故e＝＝.答案：7．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为______．解析：双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意知＝×2c，所以c＝2b，a＝＝b，所以e＝＝＝.答案：8．已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0且a≠b)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．给出下面四个命题：①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上；②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上；③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；④△PF1F2的内切圆必通过点(a,0)．其中所有真命题的序号是______．解析：设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于A，B，与F1F2切于M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，设点M的坐标为(x,0)，则由|PF1|－|PF2|＝2a，可得(x＋c)－(c－x)＝2a，解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴．由以上分析易知，①④正确，②③错误．答案：①④9．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)，(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.由(1,0)到l的距离d1＝，同理由(－1,0)到l的距离d2＝，所以s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2，于是有5≥2e2，...
