第3章数系的扩充与复数的引入(A)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．在复平面内，点A对应的复数为3＋7i，向量OB表示的复数为－2＋3i，则向量BA对应的复数为________．2．复数＝________.3．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于第____象限．4．设z1＝2－i，z2＝1＋3i，则复数z＝＋的虚部为________．5．已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为______．6．复数z＝1－2i，则z·＋z＝________.7．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)．若z1z2∈R，则x＝________.8．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为________．9．已知在复平面内，向量AB，BC，AD对应的复数分别为－2＋i,3－i,1＋5i，则CD对应的复数是______．10．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(其中i为虚数单位)，则|z|＝________.11．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．12．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是________________．13．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C.若OC＝xOA＋yOB，则x＋y的值是________．14．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m＝________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)计算：(1)；(2)＋2012.16.(14分)实数m为何值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i对应的点在：(1)x轴上方；(2)直线x＋y＋5＝0上．17．(14分)设复数z＝，若z2＋a·z＋b＝1＋i，求实数a，b的值．18.(16分)已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．19．(16分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．120.(16分)在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.(1)求AB，BC，AC对应的复数；(2)判断△ABC的形状；(3)求△ABC的面积．答案1．5＋4i2．2＋i3．二4．15．1,2解析∵(x＋i)(1－i)＝(x＋1)＋(1－x)i，∴，∴x＝1，y＝2.6．6－2i解析z·＋z＝5＋(1－2i)＝6－2i.7．－2解析∵z1z2＝(x－2)＋(x＋2)i∈R，∴x＋2＝0，∴x＝－2.8.解析∵z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，则z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]＝m＋2mi＋(m－1)i＋2(m－1)i2＝(m－2m＋2)＋(2m＋m－1)i＝(2－m)＋(3m－1)i.∴2－m＝3m－1，得m＝.9．5i10．2解析∵|z(2－3i)|＝|6＋4i|，∴|z|＝＝2.11．－20解析∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，∴(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，∴复数(z1－z2)i的实部为－20.12．(－，－2)∪(2，)解析由已知得，∴4
0，解得m<－3或m>5.(2)复数z对应的点为(m2＋5m＋6，m2－2m－15)，∵z对应的点在直线x＋y＋5＝0上，∴(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，整理得2m2＋3m－4＝0，解得m＝.17．解z＝＝＝＝＝1－i.因为z2＋a·z＋b＝1＋i，所以(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i.所以(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i.所以解得a＝－3，b＝4.即实数a，b的值分别是－3,4.18．解设ω＝z－3＋4i，∴z＝ω＋3－4i，∴z＋1－i＝ω＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|ω＋4－5i|＝1.可知ω对应的点的轨迹是以(－4，5)为圆心，半径为1的圆，如图所示，∴|ω|max＝＋1，|ω|min＝－1.19．解设z＝x＋yi(x，y∈R)，∵z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.由题意得x＝4，∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.根据条件，可知，解得2
