课时分层作业(二十一)简单线性规划(建议用时：60分钟)一、选择题1．不等式组表示的平面区域是()A．矩形B．三角形C．直角梯形D．等腰梯形B[不等式组⇔或那么利用不等式表示的区域可知，得到的区域为三角形，故选B．]2．若x，y∈R，且则z＝x＋2y的最小值等于()A．2B．3C．5D．9B[可行域如图阴影部分所示，则当直线x＋2y－z＝0经过点M(1,1)时，z＝x＋2y取得最小值，为1＋2＝3．]3．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．－D．－C[如图所示，所表示的平面区域为图中的阴影部分．由得A(3，－1)．当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM＝－．]4．在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1,2)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(2，＋∞)A[作出不等组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，注意到直线y＝k(x－1)－1恒过点A(1，－1)，要使题中不等式组表示的区域为三角形区域，首先必须使k<0(因为若k≥0，则不可能得到三角形区域)，然后考虑两临界状态，即图中的直线l1与l2，易得k的取值范围是(－∞，－1)．1]5．实数x，y满足不等式组则W＝的取值范围是()A．B．C．D．D[画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W＝表示阴影部分的点与定点A(－1,1)的连线的斜率，由图可知点A(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－≤W<1．]二、填空题6．如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是．(0,5)[首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z最大．]7．设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为．－10[作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z＝2x＋3y－5经过点A(－1，－1)时，z取得最小值，zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．]8．已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是．[不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x＋y－2＝0的距离为，所以(x2＋y2)min＝，又当(x，y)取点(2,3)时，x2＋y2取得最大值13，故x2＋y2的取值范围是．2]三、解答题9．已知f(x)＝(3a－1)x＋b－a，x∈[0,1]，若f(x)≤1恒成立，求a＋b的最大值．[解]因为f(x)≤1在[0,1]上恒成立，所以即将a，b对应为平面aOb上的点(a，b)，则其表示的平面区域如图所示，其中A，求a＋b的最大值转化为在约束条件下，目标函数z＝a＋b的最值的线性规划问题，作直线a＋b＝0，并且平移使它通过可行域内的A点，此时z＝a＋b取得的最大值为．10．若实数x，y满足求：(1)z＝2x＋y的最小值；(2)z＝x2＋y2的取值范围；(3)z＝的最大值．[解]作出满足已知条件的可行域为△ABC内(及边界)区域，如图所示，其中A(1,2)，B(2,1)，C(3,4)．(1)目标函数z＝2x＋y，表示直线l：y＝－2x＋z，z表示该直线的纵截距，当l过点A时纵截距有最小值，故zmin＝4．(2)目标函数z＝x2＋y2表示区域内的点到坐标系原点的距离的平方，又原点O到AB的距离d＝＝，且垂足D，在线段AB上，故OD2≤z≤OC2，即z∈，25．(3)目标函数z＝＋1，记k＝．则k表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A时，斜率最大，则kmax＝2，即zmax＝max＝3．31．已知x，y满足目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为()A．－1,4B．－1，－3C．－2，－1D．－1，－2D[由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴解得]2．已知x，y满足约束条件使z＝x＋ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为()A．－3B．3C．－1D．1D[如图，作出可行域，作直线l：x＋ay＝0，要使目标函数z＝x＋ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x＋y＝5重合，故a＝1，选D．]3．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝OM·OA的最大值为．4[由线性约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝OM·OA＝x＋...
