不作二面角的平面角求二面角的方法立几中求二面角的方法很多，通常是作出二面角的平面角，转化为求平面角的问题。而要作出二面角的平面角，对学生来说是一个老大难问题，能不能不作出二面角的平面角而直接求出二面角呢？下面就一例谈谈常用方法。例已知直角三角形ABC中，P为三角形ABC所在平面外一点，PA平面ABC，,求二面角A—PC—B的大小。1、基向量法：即设基向量，分别过二面角的二个面内一点作棱的垂线，把求二面角的问题转化为两垂线上的两向量的夹角问题。解：设所求二面角的大小为，过A作AEPC于E，过B作BFPC于F，则=，设平面ABC，，又设|PA|=|AB|=1，即设，，同理可得：，故所求二面角的大小为。2、四线段法：即分别过二面角的二个面内一点作棱的垂线，把求二面角的问题转化为求这两点间的距离、这两点到棱的距离、垂足间的距离这四条线段的长度。解：设所求二面角的大小为，过A作AEPC于E，过B作BFPC于F，则=，设PA=AB=1，则PB=，AC=2，BC=，PC=，用心爱心专心FEBCPAFEBCPA，，，故所求二面角的大小为。3、法向量法：即利用二面角与二面角的两个面的法向量相等或互补关系，转化为求两法向量间的夹角。解：建立如图空间直角坐标系A—，设PA=AB=1，则A（0，0，0）、B（）、C（0，2，0）、P（0，0，1），，，取平面PAC的法向量，设平面PBC的法向量，则，取，则，，，故所求二面角的大小为。4、面积射影定理法：设二面角大小为（，原来图形的面积为S，射影图形的面积为S射，则可证明cos=（证明略）。这就是面积射影定理。利用这个公式求二面角的方法即为面积射影定理法。解：作BEAC于E,连PE,平面ABC,平面PAC,平面PAC平面ABC平面PAC,为在平面PAC内的射影,设PA=AB=1,则PB=,BC=,AC=2,用心爱心专心zyxBCPAEBCPA,,设所求二面角的大小，则由面积射影定理知:,，故所求二面角的大小为。用心爱心专心
