第二课时直线与椭圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与椭圆的位置关系1,2弦长问题3,4,7中点弦问题6最值问题8定值、定点问题11综合问题5,9,10,12【基础巩固】1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(A)(A)相交(B)相切(C)相离(D)不确定解析:直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.故选A.2.若直线kx-y+3=0与椭圆+=1有两个公共点,则实数k的取值范围是(C)(A)(-,)(B)()∪(-)(C)(-∞,-)∪(,+∞)(D)(-∞,-)∪(-,)解析:由可得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当Δ=16(16k2-5)>0,即k>或k<-时,直线与椭圆有两个公共点.故选C.3.(2017·哈师大附中高三月考)已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于A,B,1则△ABM的周长为(B)(A)4(B)8(C)12(D)16解析:因为椭圆的焦点为(±,0),M为右焦点,直线过左焦点,所以△ABM的周长为4a=4×2=8.故选B.4.(2018·杭州调研)已知椭圆+=1的上焦点为F,直线x+y-1=0和x+y+1=0与椭圆分别相交于点A,B和C,D,则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|等于(D)(A)2(B)4(C)4(D)8解析:如图,设F1为椭圆的下焦点,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性可知,四边形AFDF1为平行四边形,所以|AF1|=|FD|,同理|BF1|=|CF|,所以|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|BF|+|BF1|+|AF1|=4a=8.故选D.5.(2018·扬州高二检测)过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.解析:由已知可得直线方程为y=2x-2,联立方程得交点坐标,不妨令A(0,-2),B(,),所以S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=.答案:6.(2017·潜江高二期中)椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的方程为.解析:设以P(3,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2),因为P(3,2)为EF中点,所以x1+x2=6,y1+y2=4,把E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆4x2+9y2=144,得2所以4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,所以24(x1-x2)+36(y1-y2)=0,所以k==-,所以以P(3,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为y-2=-(x-3),整理,得2x+3y-12=0.答案:2x+3y-12=07.已知椭圆C的对称轴为坐标轴,一个焦点为F(0,-),点M(1,)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l:2x-y-2=0与椭圆C交于A,B两点,求|AB|.解:(1)因为椭圆C的对称轴为坐标轴,一个焦点为F(0,-),所以c=,因为点M(1,)在椭圆C上,所以2a=+=4,a=2,b2=a2-c2=2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)联立直线l与椭圆C的方程解得令A(0,-2),B(,),则|AB|==.【能力提升】8.(2018·宜宾高二月考)若直线y=x+t与椭圆+y2=1相交于A,B两点,当t变化时,|AB|的最大值为(C)3(A)2(B)(C)(D)解析:将y=x+t代入+y2=1,得5x2+8tx+4t2-4=0,则x1+x2=-,x1x2=.由|AB|=×=·,当t=0时|AB|最大,最大值为×=.故选C.9.(2018·河北质检)已知直线l:y=kx+2过椭圆+=1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若L≥,则椭圆离心率e的取值范围是(B)(A)(0,)(B)(0,)(C)(0,)(D)(0,)解析:依题意,知b=2,kc=2.设圆心到直线l的距离为d,则L=2≥,解得d2≤.又因为d=,所以≤,解得k2≥.4于是e2===,所以0b>0)过点(0,1),其长轴长、焦距和短轴长三者的平方成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q,P,与椭圆分别交于点M,N,各点均不重合且满足=λ1,=λ2.(1)求椭圆的标准方程;(2)若λ1+λ2=-3,试证明直线l过定点并求此定点.解:(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,又a2=b2+c2,所以a2=3.5所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),设l方程为x=t(y-m),由=λ1知(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1),所以y1-m=-y1λ1,由题意y1≠0,所以λ1=-1.同理由=λ2知λ2=-1.因为λ1+λ2=-3,所以y1y2+m(y1+y2)=0,①联立得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0,由题意知Δ=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)>0,②且有y1+y2=,y1y2=,③③代入①得t2m2-3+m·2mt2=0,所以(mt)2=1,由题意mt<0,所以mt=-1,满足②,得l方程为x=ty+1,过定点(1,0),即Q为定点.【探究创新】12.(2018·承德高二期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点.若=3,则k=.解析:根据已知=,可得a2=c2,则b2=c2,故椭圆方程为+=1,即3x2+12y2-4c2=0.6设直线的方程为x=my+c(m=),代入椭圆方程得(3m2+12)y2+6mcy-c2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据=3,得(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得-y1=3y2,根据根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-,把-y1=3y2代入得,y2=,=,故9m2=m2+4,故m2=,从而k2=2,k=±.又k>0,故k=.答案:7
