1.2.1充要条件-(2)VIP免费

第一章常用逻辑用语§1.2充分条件与必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考知识点一充分条件与必要条件用恰当的语言表述下列语句的意义.①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件.答案②只有同心协力，才能把事情办好.同心协力是办好事情的必要条件.答案梳理(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的条件，q是p的_____条件.(2)若p⇒q，但q⇏p，称p是q的条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的条件.必要而不充分充分必要充分而不必要思考知识点二充要条件在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？因为A、B、C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件.答案梳理(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的条件，简称充要条件.(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.充分必要(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件题型探究命题角度1在常见数学问题中的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；解答类型一判断充分条件、必要条件、充要条件 a＋b＝0⇏a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，∴p是q的必要不充分条件.(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；解答 四边形的对角线相等⇏四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，∴p是q的必要不充分条件.(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1； x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件.解答(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根；解答若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，∴p是q的充分不必要条件.即m<－14. m<－1⇒m<－14；m<－14⇏m<－1，(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交.解答由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的充要条件.判断充分条件和必要条件的方法：一、定义法；二、等价命题法，原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断中经常用到；三、集合法，P是Q的充分不必要条件⇔集合PQ，P是Q的必要不充分条件⇔集合PQ，P是Q的充要条件⇔集合P＝Q，P是Q的既不充分也不必要条件⇔集合P⊈Q，且P⊉Q；四、传递法，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇏等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度.反思与感悟跟踪训练1指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：00满足题意；故p是q的必要不充分条件.当a≠0时，由Δ＝a2－4a<0，a>0，可得02，β>2，q：α＋β>4，αβ>4.解答由α>2，β>2，根据同向不等式相加、相乘的性质，有α＋β>4，αβ>4，即p⇒q.但α＋β>4，αβ>4⇏α>2，β>2，比如，当α＝1，β＝5时，α＋β＝6>4，αβ＝5>4，而α<2，命题角度2在实际问题中的判断例2如图所示的电路图中，“...