数学归纳法与贝努利不等式VIP免费

2.3数学归纳法预习任务一已知数列的通项公式为}{na22)55(nnan（1）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？（2）你的猜想正确吗？12341,1,1,1aaaa(1)由，*1().nanN猜想：（2）事实上，5625,121aa故猜想不成立。111nnnaaa（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你认为你的结论一定正确吗？如何证明猜想是正确的？对于数列｛｝，na)∈(*Nn11,a预习任务二12341111,,,1234aaaa(1)由，*1().nanNn猜想：(2)从n=5开始逐个往下验证的想法价值不大，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。为了证明此类与正整数有关的问题，我们需要学习数学归纳法！学习目标：1.知道数学归纳法原理.2.记住数学归纳法证明数学命题的两个步骤.3.用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式.问：多米诺骨牌全部倒下，必须具备哪两个条件？(1)第一块骨牌倒下；(2)前一块倒下必导致后一块倒下。条件(2)给出了一个递推关系，若第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下.课题探究（1）第1块骨牌倒下。(1)当n=1时，验证猜想正确。（2）如果第k块倒下时，一定能导致第k+1块也倒下。(2)如果n=k时猜想成立根据(1)和(2)，可知不论有多少个骨牌都能全部倒下。根据(1)和(2)，可知对所有的正整数n，猜想都成立。）（*kN一定能推出当n=k+1时猜想也成立kak1111kak课题探究多米诺骨牌游戏原理通过有限个步骤的推理，证n取所有正整数都成立数学归纳法对于某些与有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：1.先证明当n取第一个值n0时命题成立；2.当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，当n=k+1时命题也成立。这种证明方法就叫做。数学归纳法正整数n假设证明当n=k证明当n=k+1时命题也成立命题对所有的正整数n都成立.(1)证明当n取时命题成立;(2)假设由(1)(2)可知.证明一个与正整数n有关的命题,按下列步骤进行第一个值n0归纳奠基归纳递推(n0∈N+)（k≥n0,k∈N+)时命题成立，生成概念1、用数学归纳法证明的对象是与有关的命题。正整数2、在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可。3、书写必须规范(1)证明当n取第1个值时，命题成立(2)假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立(3)由(1)、(2)得出结论两个步骤一个结论上述证明对吗？为什么？证明：①当n=1时，左边＝②设n=k时，有135...........(21)[2(1)1]kk即n=k+1时，命题成立。根据①②问可知，对nN∈＊，等式成立。例2用数学归纳法证明:当Nn2)12(..........531nn1右边＝12)12(.........531kk等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。则，当n=k+1时2[12(1)1](1)2(1)kkk1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝正确解法：用数学归纳法证明n2即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立。nN证明：1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］那么当n=k+1时（2）假设当n＝k时，等式成立，即（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝k2＝+[2(k+1)－1］k2＝＋2k＋1k2＝（k+1）2（假设）（利用假设）注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。证明传递性（凑结论）课堂小结1.数学归纳法能够解决哪一类问题？用于证明某些与正整数有关的数学命题。2.数学归纳法证明命题的步骤？(1)证明当n取第一个值(初始值)时结论正确；(2)假设当n取k时结论正确，推导n取k的下一个值时结论也正确.3.数学归纳法证明命题的关键？在第二步推导中归纳假设要用到。4.数学归纳法体现的核心思想？递推思想，用“有限”的推理，解决“无限”的问题。