3.三个正数的算术-几何平均不等式基础巩固1已知a,b,c均为正数,且abc=27,则a+b+c的最小值为()A.3B.6C.9D.27解析：∵a,b,c均为正数,∴a+b+c≥33√abc=33√27=9¿a=b=c=3时,等号成立).∴a+b+c的最小值为9.故选C.答案：C2函数f(x)¿1x2+2x(x>0)的最小值为()A.3B.4C.5D.6解析：∵x>0,∴f(x)¿1x2+x+x≥33√1x2·x·x=3,当且仅当1x2=x=x,即x=1时,等号成立.故选A.答案：A3设x,y,z>0且x+y+z=6,则lgx+lgy+lgz的取值范围是()A.(-∞,lg6]B.(-∞,3lg2]C.[lg6,+∞)D.[3lg2,+∞)解析：∵lgx+lgy+lgz=lg(xyz),而xyz≤(x+y+z3)3=23,∴lgx+lgy+lgz≤lg23=3lg2,当且仅当x=y=z=2时,等号成立.答案：B4函数y=x2(1-5x¿(0≤x≤15)的最大值为()A.4675B.2657C.4645D.2675答案：A5若a>b>0,则a+1b(a-b)的最小值为()A.0B.1C.2D.3解析：∵a+1b(a-b)=(a−b)+b+1b(a-b)≥33√(a-b)·b·1b(a-b)=3,当且仅当a=2,b=1时,等号成立,∴a+1b(a-b)的最小值为3.答案：D6若正数x,y满足xy2=4,则x+2y的最小值为.1解析：∵xy2=4,x>0,y>0,∴x¿4y2.∴x+2y¿4y2+2y=4y2+y+y≥33√4y2·y·y=33√4,当且仅当4y2=y,即x=y¿3√4时,等号成立,此时x+2y的最小值为33√4.答案：33√47函数y=4sin2xcosx的最大值为,最小值为.解析：∵y2=16sin2x·sin2x·cos2x=8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8(sin2x+sin2x+2cos2x3)3=8×827=6427,∴y2≤6427,当且仅当sin2x=2cos2x,即tanx=±√2时,等号成立.∴ymax¿89√3,ymin=−89√3.答案：89√3−89√38设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,当其表面积最小时,底面边长为多少?解:设底面边长为x,高为h,则√34x2·h=V,所以h¿4√3V3x2.又S表=2·√34x2+3xh¿√32x2+3x·4√3V3x2=√32x2+4√3Vx¿√32(x2+8Vx)=√32(x2+4Vx+4Vx)≥√32×33√16V2=3√3·3√2V2,当且仅当x2¿4Vx,即x¿3√4V时,等号成立.故所求底面边长为3√4V.9设a,b,c>0,求证:1a3+1b3+1c3+abc≥2√3.2证明：因为a,b,c>0,由算术-几何平均不等式可得1a3+1b3+1c3≥33√1a3·1b3·1c3,即1a3+1b3+1c3≥3abc¿a=b=c时,等号成立).所以1a3+1b3+1c3+abc≥3abc+abc.又因为3abc+abc≥2√3abc·abc=2√3¿a2b2c2=3时,等号成立),所以1a3+1b3+1c3+abc≥2√3¿a=b=c¿6√3时,等号成立).能力提升1已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是()A.V≥πB.V≤πC.V≥18πD.V≤18π解析：如图,设圆柱半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=S·h=πR2·h=π·R·R·h≤π(R+R+h3)3=π,当且仅当R=h=1时,等号成立.答案：B2若实数x,y满足xy>0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是()A.1B.2C.3D.4解析：xy+x2¿12xy+12xy+x2≥33√12xy·12xy·x2=33√14(x2y)2=33√44=3,当且仅当12xy=x2,即x=1,y=2时,等号成立.答案：C3已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A.33√6B.2√2C.12D.123√53解析：∵2x>0,4y>0,8z>0,∴2x+4y+8z=2x+22y+23z≥33√2x·22y·23z=33√2x+2y+3z=3×4=12,当且仅当2x=22y=23z,即x=2,y=1,z¿23时,等号成立.答案：C★4已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,对于下列不等式:①abc≤127;②1abc≥27;③a2+b2+c2≥13;④ab+bc+ca≤13.其中正确不等式的序号是.解析：∵a,b,c∈(0,+∞),∴1=a+b+c≥33√abc,0
0),高为h,由右图可得2h+√3x=√3,则h¿√32(1−x),V=S底·h=6×√34x2·h¿3√32x2·√32·(1-x)4=9×x2×x2×(1−x)≤9×(x2+x2+1-x3)3=13,≤9×(x2+x2+1-x3)3=13,当且仅当x2=x2=1−x,即x¿23时,等号成立.所以当底面边长为23时,正六棱柱容器的容积最大,为13.6已知a,b,c均为正数,证明：a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥6√3,并确定a,b,c为何值时,等号成立.证明：因为a,b,c均为正数,由算术-几何平均不等式,得a2+b2+c2≥3(abc)23,①1a+1b+1c≥3(abc)-13,所以(1a+1b+1c)2≥9(abc)-23.②故a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥3(abc)23+9¿又3(abc)23+9¿当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当3(abc)23=9¿,③式等号成立.即当且仅当a=b=c¿314时,原式等号成立.所以原不等式成立.★7设0<θ<π,求函数y=sinθ2(1+cosθ)的最大值.分析：求积的最大值,要通过恰当变形使各因式之和为定值,同时还要保证能够使等号成立,此题中含有三角函数,求解时切不可忽略其自身的范围限制.5解:y=sinθ2¿θ)=2sinθ2cos2θ2>0(0<θ<π),y取最大值当且仅当y2取最大值.y2=4sin2θ2·cos4θ2=4sin2θ2·cos2θ2·cos2θ2=2·2sin2θ2·cos2θ2·cos2θ2≤2·(2sin2θ2+cos2θ2+cos2θ23)3=2×(23)3=1627,当且仅当2sin2θ2=cos2θ2时,等号成立,此时tan2θ2=12,tanθ2=√22.则ymax2=1627,故ymax¿49√3.6
