第5讲数学归纳法1．已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，当n∈N*时，an＋2＝an＋1＋an.求证：数列{an}的第4m＋1项(m∈N*)能被3整除．证明：(1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．故命题成立．(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.显然，3a4k＋2能被3整除，又由假设知a4k＋1能被3整除．∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．由(1)和(2)知，对于n∈N*，数列{an}中的第4m＋1项能被3整除．2．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值．(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由已知得解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2)猜测an＝2n＋1.由Sn＝2nan＋1－3n2－4n得Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4(n－1)(n≥2)，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以两式相减，整理得an＝2nan＋1－2(n－1)an－6n－1，an＋1＝an＋，又a2＝5，a1＝3，满足式子，建立了an与an＋1的递推关系(n∈N*)．下面用数学归纳法证明：an＝2n＋1.①当n＝1时，a1＝3，成立．②假设n＝k时成立，即ak＝2k＋1成立，那么n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋＝(2k＋1)＋＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时也成立．由①②可知，对于n∈N*，有an＝2n＋1，所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.3．已知数列{an}满足an＝＋＋…＋(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)对任意正整数n，an小数点后第一位数字是多少？请说明理由．解：(1)a1＝，a2＝，a3＝.(2)a1，a2小数点后第一位数字均为5，a3小数点后第一位数字为6.下证：对任意正整数n(n≥3)，均有0.6＜an＜0.7，注意到an＋1－an＝＋－＝＞0，故对任意正整数n(n≥3)，有an≥a3＞0.6.下面用数学归纳法证明：对任意正整数n(n≥3)，有an≤0.7－.①当n＝3时，有a3＝＝0.7－＝0.7－≤0.7－，命题成立；②假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，命题成立，即ak≤0.7－，则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋≤0.7－＋.∵－－＝－＞0，∴－＞，∴ak＋1≤0.7－＋≤0.7－，∴n＝k＋1时，命题也成立；综合①②可知，任意正整数n(n≥3)，an≤0.7－.由此，对正整数n(n≥3)，0.6＜an＜0.7，此时an小数点后第一位数字均为6.所以a1，a2小数点后第一位数字均为5，当n≥3，n∈N*时，an小数点后第一位数字均为6.4．(2019·启东联考)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln(x＋1)(a∈R)．(1)若函数f(x)在区间(0,1)上恒有f′(x)＞x，求实数a的取值范围；(2)已知c1＞0，且cn＋1＝f′(cn)(n＝1,2，…)，在(1)的条件下，证明数列{cn}是单调递增数列．解：(1)因为f′(x)＝2x－a＋，由f′(x)＞x，得2x－a＋＞x，即a＜x＋(0＜x＜1)．又y＝x＋＝x＋1＋－1＞1(因为x＋1＞1)，所以a＜1，即实数a的取值范围为(－∞，1)．(2)证明：①当n＝1时，c2＝f′(c1)＝2c1－a＋，又因为c1＞0,所以c1＋1＞1，且a＜1，所以c2－c1＝c1－a＋＝c1＋1＋－(a＋1)＞2－(a＋1)＝1－a＞0.所以c2＞c1，即当n＝1时结论成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，有ck＋1＞ck，且ck＞0，则当n＝k＋1时，ck＋2－ck＋1＝ck＋1－a＋＝ck＋1＋1＋－(a＋1)＞2－(a＋1)＝1－a＞0.所以ck＋2＞ck＋1，即当n＝k＋1时结论成立．由①②知数列{cn}是单调递增数列．5．猜想：集合M＝{x|x≤n，x∈N*}(n∈N*)的所有子集均可排成一行，使得任意两个相邻子集的元素个数相差1.请你分别取n＝1,2,3加以验证，并判断猜想是否对任意的正整数n都成立，若不是，请说明理由；若是，请给出证明．解：当n＝1时，M＝{1}的2个子集排成一行：∅，{1}，元素个数相差1，成立；当n＝2时，M＝{1,2}的4个子集排成一行：∅，{1}，{1,2}，{2}，任意两个相邻的子集的元素个数相差1，猜想成立；当n＝3时，M＝{1,2,3}的8个子集排成一行：∅，{1}，{1,2}，{2}，{2,3}，{1,2,3}，{1,3}，{3}，任意两个相邻的子集的元素个数相差1，猜想成立，对任意的正整数n，猜想成立，证明如下：①当n＝1时，已证；②假设当n＝k(k∈N*)时，集合M＝{1,2，…，k}的2k个子集排成一行：M1，M2，…，M2k，任意两个相邻子集的元素个数相差1.则当n＝k＋1时，集合M＝{1,2，…，k，k＋1}的2k＋1个子集排成一行：M1，M2，…，M2k，M2k∪{k＋1}，…，M2∪{k＋1}，M1∪{k＋1}，任意两个相邻的子集的元素个数相差1,故当n＝k＋1时，结论也成立．由①②知，猜想成立．
