课时作业22空间向量运算的坐标表示时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于()A．(16,0,4)B．(8，－16,4)C．(8,16,4)D．(8,0,4)解析：4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．答案：D2．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为()A．4B．15C．7D．3解析：∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.答案：D3．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于()A．3B．2C.D．5答案：A4．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，OA＋λOB与OB(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为()A.B．－C．±D．±解析：用排除法，OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，OB＝(0，－1,1)．由已知cos120°＝＝＝－，∴λ<0.故选B.答案：B5．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是()A.B.C.D.解析：由已知b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝＝≥.答案：C6．若在△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为()A.B．－C．2D．±1解析：CB＝(－6,1,2k)，CA＝(－3,2，－k)，则CB·CA＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，∴k＝±.答案：D二、填空题(每小题8分，共24分)7．如果三点A(1,5，－2)、B(2,4,1)、C(a,3，b＋2)共线，那么a－b＝________.解析：∵A，B，C三点共线，∴AB＝λAC，即(1，－1,3)＝λ(a－1，－2，b＋4)＝(λ(a－1)，－2λ，λ(b＋4))．∴解得λ＝，a＝3，b＝2.∴a－b＝1.答案：18．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是__________．解析：∵A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，∴AB＝(2cosθ－3cosα，2sinθ－3sinα，0)．∴|AB|＝＝＝，∴1≤|AB|≤5.答案：[1,5]9．已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.解析：AB＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，AC＝(2，－2,6)，由AB∥AC，得＝－＝.解得λ＝0，μ＝0，∴λ＋μ＝0.答案：0三、解答题(共40分)10．(10分)已知a＝(1,2,3)，b＝(1,0,1)，c＝a－2b，d＝ma－b，求实数m的值，使得(1)c⊥d；(2)c∥d.解：c＝a－2b＝(－1,2,1)，d＝ma－b＝(m－1,2m,3m－1)．(1)∵c⊥d，∴c·d＝1－m＋4m＋3m－1＝0.∴m＝0.(2)∵c∥d，∴＝＝，得m＝.11．(15分)已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实数根，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb，当|c|取最小值时，求t的值．解：∵a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb，∴c＝(－1＋t,1,3－2t)．∴|c|＝.∴|c|＝.∴当t＝时，|c|取最小值．2图112．(15分)如图1，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．解：(1)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，∴OA＝OC＝，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝×2×2＝2.在Rt△POB中，∠PBO＝60°，∴PO＝OB·tan60°＝tan60°·1＝.∴VP－ABCD＝S菱形ABCD·PO＝×2×＝2.图2(2)如图2，以O为原点，OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，A(0，－，0)，P(0,0，)．于是E(，0，)，∴DE＝(，0，)，PA＝(0，－，－)．∴DE·PA＝－×＝－，|DE|＝，|PA|＝.∴cos〈DE，PA〉＝＝＝－.∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.3
