选修4－2矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(理科专用)1.若＝，求x＋y的值．解：x2＋y2＝－2xyx＋y＝0.2.用几何变换的观点，判断并求出矩阵的逆矩阵．解：因为矩阵表示的是绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，所以它有逆变换，对应的逆矩阵为.3.已知矩阵A＝的一个特征值为λ，是A的属于λ的特征向量，求矩阵A的逆矩阵A－1.解：∵Aα＝λα，＝λ，∴解得A＝，则A－1＝.4.已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A.解：设A＝，由题知＝，＝3.即解得所以A＝.5.已知二阶矩阵A有两个特征值1、2，求矩阵A的特征多项式.解：由特征多项式的定义知，特征多项式是一个首项系数为1的二次三项式．因此不妨设f(λ)＝λ2＋bλ＋c.因为1，2是A的特征值，所以f(1)＝f(2)＝0，即1，2是λ2＋bλ＋c＝0的根．由根与系数的关系知：b＝－3，c＝2，所以f(λ)＝λ2－3λ＋2.6.矩阵M＝有属于特征值λ1＝8的一个特征向量e1＝，及属于特征值λ2＝－3的一个特征向量e2＝.对向量α＝，计算M3α.解：令α＝me1＋ne2，将具体数据代入，有m＝1，n＝－3，所以a＝e1－3e2.M3α＝M3(e1－3e2)＝M3e1－3(M3e2)＝λe1－3(λe2)＝83－3×(－3)3＝,M3α＝.7.求下列矩阵的特征值和特征向量．(1)M＝；(2)M＝.解：(1)矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－8)(λ－2)，令f(λ)＝0得λ1＝2，λ2＝8.λ1＝2对应的一个特征向量为，λ2＝－8对应的一个特征向量为.(2)矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ＋3)·(λ－6)，令f(λ)＝0得λ1＝－3，λ2＝6.λ1＝－3对应的一个特征向量为，λ2＝6对应的一个特征向量为.8.利用逆矩阵的知识解方程MX＝N，其中M＝，N＝.解：设M－1＝，＝＝，解得所以M－1＝.可得X＝M－1N＝＝.所以原方程的解为.9.已知矩阵M＝，N＝，试求曲线y＝cosx在矩阵M－1N变换下的函数解析式．解：由M－1＝，得M－1N＝＝，即在矩阵M－1N的变换下有如下过程，→＝，则y′＝cos2x′，即曲线y＝cosx在矩阵M－1N的变换下的解析式为y＝2cos2x.10.设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y方向伸长为原来5倍的伸压变换．求：(1)直线4x－10y＝1在M作用下的方程；(2)M的特征值与特征向量．解：(1)M＝.设(x′，y′)是所求曲线上的任一点，＝，所以得代入4x－10y＝1，得4x′－2y′＝1，所以所求曲线的方程为4x－2y＝1.(2)矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－1)(λ－5)＝0，所以M的特征值为λ1＝1，λ2＝5.当λ1＝1时，由Mα1＝λ1α1，得特征向量α1＝；当λ2＝5时，由Mα2＝λ2α2，得特征向量α2＝.11.已知矩阵M＝.(1)求矩阵M的特征值和特征向量；(2)对于向量α＝，求M3α.解：(1)矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－8)(λ＋3)＝0，得M的特征值为λ1＝8，λ2＝－3.λ1＝8对应的一个特征向量为，λ2＝－3对应的一个特征向量为.(2)因为α＝＝e1＋e2，所以M3α＝M3(e1＋e2)＝M3e1＋M3e2＝λe1＋λe2＝.
