相似三角形存在性（一）在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了例题1如图，抛物线y二ax2+bx+c与轴交于点A(-1,0),点B(3,0),与y轴联立方程：-弧扌厂扌|时，直线OE解折式为严-切当E点坐标为解备BE=2^2或込存,故E点坐标为(1厂2)或(話-；ZABC的两边厲4、EC与AOBE的两边肌人BE成比例即可，故可得:〔2)思甌考虑到△理眈和有一俎公共角.公共角必是对应箱.此时O点坐标为(A-2^)或(-皿冋；联立为程：—2JT=x*—2x—3j解-得:曲三y/3>=—y/3i当E点坐标为(匕-2)时，直线OE解析式为尸-2厂BERA卡HERC抛物22例题1如图，抛物线y二ax2+bx+c与轴交于点A(-1,0),点B(3,0),与y轴例题2如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x-i与抛物线y二-x2+bx+c交于A、B两点，其中A(m,0)、B(4,n),该抛物线与y轴交于点C与x轴交于另一点D．(1)求m、n的值及该抛物线的解析式；(2)如图2,连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q,使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.^ADQ-ABAD^ADQ-^DAB(1)沪1*考虑到点Q在线段CD上’.DAASDAAD-——-——或——=——-DQADDQAB解紂：凹=亜~或匹=3忑3'故Q点坐标为(”)或(乙-3).二^CDA=^BAD,:.CD//AB，由题<2；思路：平行筒和等偸构造两边成比例拋物线解析式为yj+心—弘【分2QQDR图CDD例题3如图，已知抛物线y二ax2-2x+c经过AABC的三个顶点，其中点A(0,1),【分析】（2）tanZAiiC=+:门）思路：平行得相等Sb构造两边成比例若点D为抛物线的顶点.则。点坐标为〔3+-2）,二直线厂D解析式为：尸5又宜线用泾解析式为：尸Z故CD//AB.AZBAC^ZACD.故点E在点（?左侧'考虑ZBAC的两边』&M与CE、CD成比例:CDAC十CDAB=戍—=CEABCEAC解得；CE=9或2,D故E点坐标为（91）或〔4,1丄例题4如图，以D为顶点的抛物线y二-x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C直线BC的表达式为y=-x+3.(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上是否存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形与ABCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.且QBBO【分1丨｝抛物线解析式古y=r12）思踣：计算三角函数值得柑等角易求B〔菇0）、C〔0,3）、DS4）,tanABDC=3T又用点坐标为(-L0),可得=故ZEDC=ZOAC.由题意得兰CD=41,SD=245,AC=^W,若ZVIC0与△田刃?相似，则必有点Q在/L点右边.ACAQACAQ（此处可转化对应边成比踰同-三角形中角两边比例和减瞬虑到誥』可得解得；AQ=W或/IQT故0.点坐标为〔9,0）或（0・己知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于』＜-3,0＞TZV（I，0）两点*轴交于点U（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标：（2）点F是线段崔）上一个动点，①如图1.设"兰.当应为何值时，CF=-AD^AD2②如團N以A.O为顶点的三甬形是否为△肋Q相似？若相似，求出点F的坐标:若不柑似「请说明理由.备用图(1)她物线；y=-x2-7x+3t点D坐标为（丄4hC2）①考虑到△丿「0是直匚角形,故当F点是血）中点时，有CF=-AD.此时R的值为丄’②思路：计算二角函数值得柑等角苍-IXAK）'I1,£OAE是定甬，fi.LOAF-/QAC+Z.CAD在△丿月＜7中，^ACB=ZACO+ZBCOt/,ZOAF=ZACB.｛此处也可通过—角函数值的计算，tanZOAF^...
