培优专题6整数的十进制表示整数的十进制是我们最常用、最熟悉的一种数的进位方法．用十进制位法表示一个数常有十个不同的数字符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，而且低位向高位进位是逢十进一．比如2345这个数，它包含着数位与运算的意思，我们可以理解为2个1000、加上3个100、加上4个10、再加1个5，用式子可以表示为：2345=2×103+3×102+4×10+5．一般地，对于任意一个n位的正整数A，都可以用这种形式表示：A=an-110n-1+an-210n-2+×a110+a0，这里a0，a1，…，an-1取0～9这10个数字，且an-1≠0，为了方便我们可以将A记为：A=an-1an-2…a1a0其中数码a0叫做个位数，a1叫做十位数，…，an-1叫做首位数（第n位数）．数的进位有很多种，如十二进制、二进制等，若A能写成：A=an-12n-1+an-22n-2+…+a1·21+a0，其中a0、a1…an-1{0∈，1}，且an-1≠0，则A就是一个n位的二进制数，简记为：A=（an-1an-2…a1a0）2．关于整数的十进制表示是数学竞赛的一个考点．例1甲数为两位数，乙数为一位数，且甲数是乙数的9倍多3，现将乙数接于甲数的左边，那么所得的数比甲、乙两数的和的9倍少5，求甲、乙两数．分析解决这类问题，关键是恰当地选设未知数．解：设乙数为x，则甲数为9x+3，把乙数接于甲数的左边所得的数为：100x+9x+3，根据题意得：100x+9x+3=9[（9x+3）+x]-5．解这个方程得：x=1．9×1+3=12∴．答：甲、乙两数分别为12和1．练习11．把一个两位数m，放在一个三位数n的前面组成一个五位数，可表示为（）．A．mnB．m+nC．10m+nD．1000m+n2．设十位上的数字为x，个位上的数字为x+1，百位上的数字为x-1，则表示这个三位数的代数式是________．3．一个两位数交换它的十位数字与个位数字的位置，所得的两位数是原来的74，求所有这样的两位数．例2如果一个三位数正好等于各个数位上的数字之和的13倍，试求这个三位数．分析解决这个题的关键是要能从b=29a-4c中分析出a只能为1，把这个问题解决了，此题也就迎刃而解了．解：设这个三位数可表示为abc，根据题意得：100a+10b+c=13（a+b+c），b=29a-4c∴．这里a只能为1，否则不论c取什么数，b均为两位数．∴当a=1时，c=5，6，7．而此时，b=9，5，1．故所求的三位数是195、156或117．练习21．一个两位数，个位上的数比十位上的数的一半少12，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么得到的两位数与原来的两位数差的绝对值是一个整数平方数，求原两位数．2．将一个三位数的各位数字重新排列后，所得的最大的三位数减去最小的三位数恰好等于原数，求这个三位数．3．已知一个四位数的各位数之和与这个四位数相加等于2002，试求这个四位数．例3已知一个三位数，它的数码是顺序相断的三个数码，例如123、456等等，将数码反序排成一个新三位数，证明其中较大的三位数减去较小的三位数的差一定是198．分析解决这个问题的关键是要用代数式分别将这个三位数和其反序数表示出来，然后再判断其大小，最后求差．证明：设相断的数码为n，n+1，n+2，其中n取1、2、3、4、5、6、7，则这个三位数为a=100n+10（n+1）+（n+2）．设其反序数为b，则：b=100（n+2）+10（n+1）+n．显然，b>a．b-a=100∴（n+2）+10（n+1）+n-[100n+10（n+1）+（n+2）]=200-2=198．练习31．有一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，这个两位数不大于63，则这个两位数是________．2．一个三位数的各位数字各不相同，把它的各位上的数字任意交换位置，又可得到5个三位数，若这6个三位数的和等于2220，那么在所有满足条件的三位数中，最小的三位数是_______．3．有一个同学他不懂得an的意义，把2x9y看成是四位数29xy，说出也巧，结果完全正确，求x、y的值．例4已知一个四位数各位数字之和与这个四位数相加等于2003，试求这个四位数．分析解决此类问题，除了要能找到相关关系列出方程外，关键是要对a、b、c、d的取值进行判定．解：设所求的四位数为abcd，根据题意得：a+b+c+d+abcd=2003，即1001a+101b+11c+2d=2003．若a=1，则：101b+11c+2d=1002．b只能为9，得：11c+2d=93．c≠9，c≠8，c只能为7，故d=8．若a=2，则b=c=0，2d=1，d无解．∴这个四位数是1978．练习41．abcd+abc+ab+a=1995，求a、b、c...
