2.2.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若椭圆x2a2+y25=1(a>√5)的长轴长为6,则它的焦距为()A.4B.3C.2D.1解析椭圆x2a2+y25=1(a>√5)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,则它的焦距为2c=4,故选A.答案A2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则椭圆的离心率为()A.13B.√33C.√22D.12解析因为2x2+3y2=m(m>0),所以x2m2+y2m3=1.所以c2=m2−m3=m6.故e2=13,解得e=√33.答案B3.焦点在x轴上,长、短半轴之和为10,焦距为4√5,则椭圆的标准方程为()A.x236+y216=1B.x216+y236=1C.x26+y24=1D.y26+x24=1解析由题意得c=2√5,a+b=10,所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为x236+y216=1.答案A14.已知椭圆y2a2+x2=1(a>1)的离心率e=2√55,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为()A.32B.2C.52D.3解析由题意可得:e2=a2-1a2=(2√55)2,据此可得:a2=5,椭圆方程为y25+x2=1,设椭圆上点的坐标为P(x0,y0),则y02=5(1-x02),故|PB|=√(x0+1)2+y02=√(x0+1)2+5(1-x02)=√-4x02+2x0+6,当x0=14时,|PB|max=52.答案C5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点、上顶点分别为A、B,坐标原点到直线AB的距离为4√33,且a2=2b2,则椭圆C的方程为()A.x28+y24=1B.y28+x24=1C.y216+x28=1D.x216+y28=1解析椭圆右顶点坐标为A(a,0),上顶点坐标为B(0,b),故直线AB的方程为y=-bax+b,即bx+ay-ab=0,依题意原点到直线的距离为ab√a2+b2=4√33,且a2=2b2,由此解得a2=16,b2=8,故椭圆的方程为x216+y28=1,故选D.答案D6.椭圆的一个焦点将长轴长分成3∶2两部分,则这个椭圆的离心率为.解析依题意有(a+c)∶(a-c)=3∶2,2所以a=5c,故离心率为e=ca=15.答案157.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为.解析由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积有最大值,即bc=2.∴a2=b2+c2≥2bc=4,∴a≥2,当且仅当b=c=√2时等号成立.∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4,故答案为4.答案48.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点顺次连接构成一个菱形,该菱形的面积为2√10,又椭圆的离心率为√155,则椭圆的标准方程是.解析由题意,得2ab=2√10,即ab=√10①.又e2=c2a2=a2-b2a2=1525=35,即2a2=5b2②.解①②得a2=5,b2=2,所以所求椭圆方程为x25+y22=1.答案x25+y22=19.若椭圆的长轴长是10,离心率是45,求该椭圆的标准方程.解设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)或y2a2+x2b2=1(a>b>0).由已知得2a=10,e=ca=45,所以c=4.所以b2=a2-c2=25-16=9.3故椭圆的标准方程为x225+y29=1或x29+y225=1.10.已知椭圆x24+y23=1,在该椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等,设M(x,y)(-2≤x≤2),则√(x-1)2+y2=|x-4|,两边平方得y2=-6x+15.又由x24+y23=1,得y2=3(1-x24),代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,解得x=4.因为-2≤x≤2,所以符合条件的点M不存在.能力提升1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)解析椭圆的标准方程为x22+y22k=1, 焦点在y轴上,∴2k>2,解得k<1,又k>0,∴0b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为()A.√32B.12C.√22D.√3-1解析连接AF1(图略),由圆的性质知,∠F1AF2=90°.因为△F2AB是等边三角形,所以∠AF2F1=30°.故AF1=c,AF2=√3c,因此e=ca=2c2a=2cc+√3c=√3-1.答案D3.若椭圆两焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆的标准方程是()A.x236+y220=1B.x228+y212=1C.x225+y29=1D.x220+y24=1解析由题意得c=4.因为点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积为12,所以12×2c×b=12,即bc=12,于是b=3,a=5,故椭圆方程为x225+y29=1.答案C4.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面mkm,远地点B距离地面nkm,地球半径为kkm,则飞船运行轨道的短轴长为()A.2√(m+k)(n+k)B.√(m+k)(n+k)5C...
