小题专练·作业(二)平面向量、复数1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝()A．0B.C．1D.解析解法一：因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝＝1。故选C。解法二：因为z＝＋2i＝＝，所以|z|＝||＝＝＝1，故选C。答案C2.(2018·福州联考)如果复数z＝，则()A.z的共轭复数为1＋iB．z的实部为1C.|z|＝2D．z的实部为－1解析因为z＝＝＝＝－1－i，所以z的实部为－1，故选D。答案D3.(2018·福建质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征。正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝。下列关系中正确的是()A.BP－TS＝RSB.CQ＋TP＝TSC.ES－AP＝BQD.AT＋BQ＝CR解析结合题目中的图形可知BP－TS＝TE－TS＝SE＝RS＝RS。故选A。答案A4.(2018·贵阳摸底)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，AB·AD的值为()A.10B．11,C.12D．13解析以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以AB·AD＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11。故选B。答案B5.(2018·武汉调研)已知复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z＝()A.1－iB．1＋iC.－iD.＋i解析设z＝a＋bi，其中a，b∈R，由z＋|z|＝3＋i，得a＋bi＋＝3＋i，由复数相等可得解得故z＝＋i。故选D。答案D6．(2018·南宁摸底)已知O是△ABC内一点，OA＋OB＋OC＝0，AB·AC＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为()A.B.C.D.解析因为OA＋OB＋OC＝0，所以O是△ABC的重心，于是S△OBC＝S△ABC。因为AB·AC＝2，所以|AB|·|AC|·cos∠BAC＝2，因为∠BAC＝60°，所以|AB|·|AC|＝4。又S△ABC＝|AB|·|AC|sin∠BAC＝，所以△OBC的面积为。故选A。答案A7．(2018·天津高考)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM＝2MA，CN＝2NA，则BC·OM的值为()A．－15B．－9C．－6D．0解析由BM＝2MA，可知＝2，所以＝3。由CN＝2NA，可知＝2，所以＝3，故＝＝3，连接MN，则BC∥MN且|BC|＝3|MN|。所以BC＝3MN＝3(ON－OM)，所以BC·OM＝3(ON－OM)·OM＝3(ON·OM－2)＝3(|ON|·|OM|cos120°－2)＝－6。故选C。答案C8．(2018·武汉调研)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且OA⊥OB，则(OC－OA)·(OC－OB)的最大值是()A．1＋B．1－C.－1D．1解析解法一：如图，作出OD，使得OA＋OB＝OD，(OC－OA)·(OC－OB)＝2－OA·OC－OB·OC＋OA·OB＝1－(OA＋OB)·OC＝1－OD·OC，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，OD·OC取得最小值，最小值为－，此时(OC－OA)·(OC－OB)取得最大值，最大值为1＋。故选A。解法二：如图A(1,0)，B(0,1)，设C(cosθ，sinθ)，则(OC－OA)·(OC－OB)＝(cosθ－1，sinθ)·(cosθ，sinθ－1)＝cos2θ－cosθ＋sin2θ－sinθ＝1－sin，所以所求为1＋。答案A9．(2018·天津高考)i是虚数单位，复数＝______。解析＝＝＝4－i。答案4－i10．(2018·江苏高考)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________。解析复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的实部是2。答案211．(2018·合肥质检)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于______。解析解法一：因为|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，所以(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，所以a·b＝－1，所以a在b方向上的投影为＝－。解法二：记a＝OA，a＋b＝OB，b＝AB，由题意知|OA|＝1，|OB|＝，|AB|＝2，则2＋2＝2，△AOB是直角三角形，且∠OAB＝，所以a在b方向上的投影为|OA|cos＝1×＝－。答案－12．(2018·惠州调研)在四边形ABCD中，AB＝DC，P为CD上一点，已知|AB|＝8，|AD|＝5，AB与AD的夹角为θ，且cosθ＝，CP＝3PD，则AP·BP＝______。解析因为AB＝DC，CP＝3PD，所以AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝AD－AB，又|AB|＝8，|AD|＝5，cosθ＝，所以AD·AB＝8×5×＝22，所以AP·BP＝·＝2－AD·AB－2＝52－11－×82＝2。答案213.(2018·广东二模)如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB...
