第2讲数列求和及综合应用求数列的通项训练提示:求数列通项的常用方法有累加法、累积法、构造等比数列法或已知Sn与an关系,求an或利用方程思想联立方程组,求出基本量,得出an.解题时应注意各自的适用范围及注意验证n=1的情况.1.(2015宁夏石嘴山高三联考)已知各项都不相等的等差数列{an}的前7项和为70,且a3为a1和a7的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=2,求数列（）的前n项和Tn.解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则解得所以an=2n+2.(2)因为bn+1-bn=an,所以bn-bn-1=an-1=2n(n≥2,n∈N*)bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+b1=n(n+1).所以==-,所以Tn=1-+-+…+-=1-=.【教师备用】(2015东北三校第二次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)当n=1时a2=S1+2=4=2a1,当n≥2时,a⇒n+1=2an,数列{an}满足an+1=2an(n∈N*),且a1=2,所以an=2n(n∈N*).(2)bn=n·an=n·2nTn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1两式相减,得-Tn=21+22+23+…+2n-1+2n-n·2n+1-Tn=-n·2n+1,Tn=2+(n-1)·2n+1(n∈N*).求数列的前n项和训练提示:在数列求和的几种常见方法中,一定要注意其各自的适用范围,其中在裂项相消法中注意裂项后的恒等变形,在错位相减法中注意相减后,哪些项构成等比数列.2.(2015甘肃二诊)已知数列{an}中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{an-n}是等比数列;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)由已知an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2[an-1-(n-1)],因为=2(n≥2,n∈N*).所以{an-n}是以2为公比的等比数列.(2)由(1)得an-n=(a1-1)·2n-1.即an=2n-1+n.所以bn==1+.设cn=,且前n项和为Tn,所以Tn=+++…+①Tn=+++…+②①-②得Tn=1+（+++…+）-=-=2-.所以Tn=4-,Sn=n+4-.【教师备用】(2015郑州第二次质量预测)已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,且a3,a4+,a11成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)设等差数列公差为d,由题意知d>0.因为a3,a4+,a11成等比数列,所以(a4+)2=a3a11,所以(+3d)2=(1+2d)(1+10d),即44d2-36d-45=0,所以d=(d=-舍去),所以an=.(2)bn===(-).所以Tn=(-+-+…+-)=.类型一:周期数列与通项公式1.(2015山西大同三模)在数列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N+)的个位数,则a2015=.解析:a1a2=2×7=14,所以a3=4,4×7=28,所以a4=8,4×8=32,所以a5=2,2×8=16,所以a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,a11=2,所以从第三项起,an的值成周期排列,周期为6,2015=335×6+5,所以a2015=a5=2.答案:22.(2015赤峰市高三统考)数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=an+1-an,n∈N*,则a2015=.解析:因为a1=1,a2=3,an+2=an+1-an,所以a3=2,a4=-1,a5=-3,a6=-2,a7=1,a8=3,…所以数列{an}是以6为周期的周期数列.所以a2015=a6×335+5=a5=-3.答案:-3类型二:由数列性质解决恒成立问题3.(2015辽宁沈阳一模)已知数列{an},{cn}满足条件:a1=1,an+1=2an+1,cn=.(1)求证数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)求数列{cn}的前n项和Tn,并求使得am>对任意n∈N+都成立的正整数m的最小值.解:(1)因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1),因为a1=1,a1+1=2≠0,所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.所以an+1=2×2n-1,所以an=2n-1.(2)因为cn==(-),所以Tn=(-+-+…+-)=(-)==.所以==6+,n∈N*,所以6+≤15.所以当n=1时,取得最大值15.要使得am>对任意n∈N*恒成立,结合(1)的结果,只需2m-1>15,由此得m>4.所以正整数m的最小值是5.【教师备用】(2015东北三校联合二模)已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N*).(1)证明:{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列()的前n项和,若Tn
