高二数学二项式定理知识精讲一.本周教学内容：1.3二项式定理二.教学目的：1.掌握二项式定理的相关知识及其应用2.发现杨辉三角形并研究其特点，并应用其简化某些问题的解决过程三.教学重点、难点：重点：（1）二项式定理．（2）二项展开式的系数性质及应用．（3）杨辉三角形的特点及应用。难点：二项式定理的应用．四.知识分析（一）二项式定理1.二项式定理对于，这个公式所表示出来的规律叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有n＋1项，其中各项系数叫做展开式的二项式系数。展开式中的项叫做二项展开式的通项，通项是展开式的第r＋1项，即，这是二项展开式的通项公式。二项式定理是一个恒等式．左边是二项式幂的形式，表示简单，右边是二项式的展开式，表示虽然复杂，但有规律，利用它解决问题时可根据需要而选择．二项式定理中，a，b是任意的，．于是，我们可根据需要对a，b赋值，利用二项式定理来解决一些特殊问题．例如取，就会得到；取，就会得到；从而得到；同学们可以继续思考：如果取又会有什么结论？2.二项展开式对于二项展开式主要应抓住如下特点：（1）它有n＋1项，是和的形式．（2）各项的次数都等于二项式的幂的次数n。（3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n。（4）各项的二项式系数依次为。用心爱心专心115号编辑1（5）注意二项式系数与二项展开式的系数的区别：如在中，各项的二项式系数就是，而各项的系数分别是，即1，10，40，80，80，32。3.对于通项公式应理解以下几点：（1）它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，它的展开式中的项，依赖于r。（2）通项公式表示的是第r＋l项，而非第r项，r＋1是项数，r不是项数．（3）公式中二项式的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒，且它们的指数和一定为n。4.学习方法、解题技巧、思维方法（1）二项式定理给出了展开式的“通项”公式：．这就为不展开多项式，求展开式中某一个特殊项提供了方法．这一特殊形式又为“概率”部分提供了准备．（2）二项式定理是对“完全平方”和“完全立方”公式的概括和推广，它是以乘法公式为基础，组合知识为工具，用不完全归纳法探索，用数学归纳法证明而得到的，对于这种由特殊到一般的思想方法应细细体会，掌握二项式定理，要从项数、系数、指数、通项几个特征去熟记它的展开式，特别要注意，展开式中第r＋l项的“二项式系数”与该项的“系数”是两个不同的概念，另外，（a＋b）n和（b十a）n的展开式中的第r＋1项是不同的．（3）由于二项式定理是用不完全归纳法得出的结论，可结合初中代数公式和多项式乘法的基础，以组合知识为工具，从中发现规律，领悟从“特殊到一般”的思想方法，即归纳法．（二）杨辉三角形观察，（当n分别取1，2，3，4，5，……）的展开式的二项式系数，我们发现了杨辉三角形：1.通过观察杨辉三角形，我们发现了它的五个性质：（1）每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和；该性质对应着组合数用心爱心专心115号编辑2的性质2：。（2）每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等；该性质对应着组合数的性质1：。（3）如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且最大。（4）观察下图，注意1＋2＋3＋4＋5＝15；1＋3＋6＋10＝20；1＋4＋10＝15；……都反映了一个有趣的结论：如：（同学们，你们会证明吗？）（5）二项展开式的二项式系数的和等于2n，即2.学习中应注意的问题（1）二项式系数的三条性质，即对称性（依据是）、增减性与最大值；各项系数的和为2n（即含n个元素的集合，子集的个数是2n），这是从整体上研究二项式系数的性质，而第三个性质又反映了特殊与一般的关系，是一种新的思想方法．应当指出的是，二项式系数与各项的系数是不同的，二项式系数专指组合数，都是正的；而各项的系数，指字母以外的内容．（2）二项式定理及其展开式系数的性质是解决许多数学问题的重要工具．杨辉三角反映了二项式系数的性质在n不大时可直接应用．对于二项式系数...
