133函数的最大(小)值与导数VIP免费

2025年2月14日奎屯王新敞新疆1.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.奎屯王新敞新疆一、复习引入：2.判别f(x0)是极大、极小值的方法:00000000,xfxxfxxfxfxfxxxfx0若满足且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，fx是极大值。3.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.注：导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.00000,,.,,.,,,,.,.xyfxxfxxyfxfxyfx我们知道极值反映的是函数在某一点附近的局部性质而不是函数在整个定域内的性质也就是说如果是函数的极大小值点那么在附近找不到比更大更小的值但是在解决实际问题或研究函数性质时我们往往函数在某个区间上哪个值最大哪个值最小如果是函数的更关最大小值点那么不小大于函数在相应区间上所有函数值心a1x2x3xo4x5x6xbxyxfy133.1图?,xfyb,a,133.1大值、极小值吗你能找出它的极图象的上函数观察区间如图.xf,xf,xf,xfyxf,xf,xf,,642531是极大值的极小值是函数我们发现观察图象.xf,afb,axfy,133.13最小值是上最大值是在区间函数可以看出从图?b,axfy大值、最小值吗上的最在区间你能找出函数探究a1x2x3xo4x5xbxyxfy143.1图xfyabxyo153.1图?,?b,a,xfyb,a,153.1143.1么什最大值和最小值分别是如果有小值吗上有最大值、最它们在的图象上的函数观察中、在图,,,.abyfx一般地如果在区间上函数的图象是一条那么它必有最大值连续不断的曲和最小值线.,,,,153.1143.1与最小值可以求出函数的最大值就比较连同端点的函数值进行所有极值的只要把函数不难看出中的例子以及函数极值、图结合图xfy求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).31144.3fxxx例求函数的最值.2x2x4xxf,4x4x31xf2'3所以因为解'0,2,2(fxxx令得或舍）:xf,xf,x'的变化情况如下表变化时当'4300,222,3304-1xfxfx单调递减单调递增oxy234x4x31xf3163.1图42.3f极小值为04,31,ff又,0,344,.3fx因此函数在上的最大值是最小值是:,,下大值与最小值的步骤如上的最在求函数一般地baxfy;,1内的极值在求函数baxfy.,,2最小的一个是最小值一个是最大值其中最大的比较、的函数值的各极值与端点处将函数bfafxfy练、函数y=x³+3x²－9x在[－4,4]上的最大值为,最小值为.分析:(1)由f´(x)=3x²+6x－9=0,(2)区间［－4,4］端点处的函数值为f(－4)=20,f(4)=76得x1=－3，x2=1函数值为f(－3)=27,f(1)=－5当x变化时，y′、y的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y′+0-0+0y2027-576比较以上各函数值，可知函数在［－4,4］上的最大值为f(4)=76，最小值为f(1)=－523()logxaxbfxx例2已知x∈(0,+∞).是否存在实数a、b使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在（0，1）上是...