北京市海淀区高三数学查缺补漏题高考预测 试题VIP免费

2011年海淀区高三数学查漏补缺题1.数学思维方法的落实高三复习的最终目标是要让学生能够用数学的思维理解问题和解决问题.如果在学生近一年的大量练习的基础上，教师帮助学生从数学思维的角度进行梳理，对每一个单元知识的思维特征与方法进行概括，将会使学生对数学的认识提高一个层次.例1：设函数2()()exfxxaxa有极值.（Ⅰ）若极小值是0，试确定a；（Ⅱ）证明：当极大值为3时，只限于3a的情况.解：（Ⅰ）2'()(2)e()e(2)exxxfxxaxaxaxxa,由0)(xf得0x或ax2.①当2a时，2'()e0xfxx，)(xf单调递减，函数()fx无极值，与题意不符，故2a；②当2a时，ax2为极小值点.故2()(2)(4)eafxfaa极小值，当极小值为0时，4a；③当2a时，同理可得afxf)0()(极小值，当极小值为0时，0a.由①②③知：0a或4a.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当2a时，)(xf在0x处取极大值af)0(，当3a时，)(xf的极大值为3；当2a时，)(xf在ax2处取极大值2(2)(4)eafaa.现在的问题是当2(4)e3aa时是否3a？解方程2(4)e3aa，得2(4)e30aa，即22e(43e)0aaa（*）设2()43e(2)agaaa则2()13e0aga，所以，)(ag在)2,(上单调递增，则有1)2()(gag，此时方程（*）无解，故当2a时，)(xf的极大值不可能为3.根据（Ⅰ）和（Ⅱ）知：函数)(xf的极大值为3时，只限于3a=.说明：此题主要考查学生研究函数方法的运用，即给函数解析式之后，能否通过导数这一研究函数的工具来研究函数的变化趋势，通过研究导函数的符号进一步了解函数的准确的变化状态.例2.已知函数321()213fxaxxx.(0)a（Ⅰ）求函数()fx在(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）若函数()fx在(2,1)上单调减，且在(0,1)上单调增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当1a时，若0(,0]xt，函数()fx的切线中总存在一条切线与函数()fx在0x处的切线垂直，求的最小值.解：（I）由已知(0)1f，2'()22fxaxx，所以'(0)2f，所以函数()fx在(0,(0))f处的切线方程为21yx（II）解1:①当0a时，'()22fxx，满足在(2,1)上'()0fx，且在(0,1)上'()0fx，所以当0a时满足题意；②当0a时，2'()22fxaxx是恒过点(0,2)，开口向下且对称轴10xa的抛物线，由二次函数图象分析可得在(2,1)上'()0fx，且在(0,1)上'()0fx的充要条件是'(1)0'(1)0ff解得40a，即40.a综上讨论可得40.a解2：由已知可得在(2,1)上'()0fx，且在(0,1)上'()0fx，即222(1)112()xaxxx在(2,1)上成立且222(1)112()xaxxx在(0,1)成立；因为在(2,1)上2112()0xx，在(0,1)上2112()4,xx所以40.a（III）当1a时，22'()223(1)3,fxxxx由题意可得0(,0]xt，总存在xR使得0'()'()1fxfx成立，即01'()'()fxfx成立，因为11(,](0,)'()3fx，当0(,0]xt时，20'()(3(1),2]fxt，所以23(1)0t，解得1313.t所以的最小值为13.例3.如图，矩形ABCD内接于由函数,1,0yxyxy图象围成的封闭图形，其中顶点C，D在0y上，求矩形ABCD面积的最大值.解：由图，设A点坐标为(,)xx,xyOADCB35(0,)2x,则(1,)Bxx，由图可得1xx，记矩形ABCD的面积为S，易得：32(1)()()SABADxxxxxx令51,(0,)2txt，得32Sttt所以'2321(31)(1)Stttt，令0S，得113tt或，因为51(0,)2t，所以13t.,SS随t的变化情况如下表：t1(0,)313151(,)32S+0-S极大值527由上表可知，当13t，即19x时，S取得最大值为527，所以矩形ABCD面积的最大值为527.说明：本题主要是帮助学生经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程.例4.已知axxxxfln)(，2)(2xxg，（Ⅰ）对一切)()(),,0(xgxfx恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，1a求函数]3,[)(mmxf在(0m)上的最小值.解：...