初中数学三角形的巧合点一这学期，我们已经学习了：三角形的三条角平分线交于一点，三角形的三条高所在直线高于一点。其实，三角形三条边的垂直平分线（过这边的中点且与其垂直的直线），三条边的中线也都分别交于一点。三角形的这几种特殊线分别共点，这样的点叫做三角形的巧合点。巧合点的存在，书上是通过画图来发现的。现在，我们进一步从理论上探讨它们的存在。1.外心三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。也就是说，以这点为圆心、这点到三角形任何一个顶点的距离为半径可以画一个圆（图1），这个圆叫做三角形的外接圆，这一点又叫做三角形的外心。图1在图1中，分别作BC，AC的垂直平分线MN，PQ，两线交于O点，连OA，OB，OC则有OB=OC，OC=OA（垂直平分线的性质）。所以OB=OA，即O点在AB的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），亦即△ABC三边的垂直平分线交于O点。以O点为圆心，OA（或OB，OC）为半径画圆，此圆即为三角形的外接圆。2.内心三角形三个角的平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等。也就是说，以这点为圆心，这点到三角形任何一边的垂线段为半径可以画一个圆（图2）。这个圆叫做三角形的内切圆，这一点叫做三角形的内心。图2在图2中，分别作∠B，∠C的平分线BM，CN，两线交于点I，作IP⊥BC，IR⊥AB，IQ⊥AC，P，Q，R是垂足。根据角平分线的性质可知，IR=IP，IP=IQ，所以IR=IQ（等量代换），所以I在∠A的平分线上，亦即△ABC三条角平分线交于一点。以I点为圆心，IP（或IQ、IR）为半径画圆，此圆即为△ABC的内切圆。3.垂心三角形三条高所在的直线交于一点，这一点叫做三角形的垂主（图3）。图3分别过A，B，C三点作它们对边BC，AC，AB的平行线PN，PM，MN，三线分别相交于P，M，N。不难看出，四边形ABCN，ACBP，ABMC都是平行四边形（它们两组对边分别平行），故有AN=BC=PA，PB=AC=BM，MC=BA=CN也就是说，A，B，C分别是△PMN三边的中点。不难看出AD⊥PN，BE⊥PM，CF⊥MN。所以AD，BE，CF是△PMN三边的垂直平分线。根据以上“外心”部分的说明，它们必定交于一点（H）。此题欲证△ABC三条高所在直线交于一点，转化为证这三条高的△PMN的垂直平分线，而这三条垂直平分线交于一点是已学过的。
