方程的根与函数的零点VIP专享VIP免费

•在整个数学体系中，函数占据了极其重要的地位，之前我们已经学习了六类基本初等函数及其基本性质。学习本章的目的就在于利用已有的基础知识解决生活中的实际问题，初步形成函数与方程的转化思想。今天我们就一起来探讨这二者的结合点----3.1.1方程的根与函数的零点•你知道怎样判断二次函数图象与x轴的交点个数吗？•函数f(x)=x2-2x-3的图象与x轴有没有交点？有几个交点？•怎样求函数f(x)=x2-2x-3的图象与x轴的交点呢？求函数f(x)=x2-2x-3的图象与x轴的交点求方程x2-2x-3=0的根x1、x2f(x)的图象与x轴的交点为（x1，0)(x2，0)你看出二次函数与二次方程的联系了吗？二次函数的图象与x轴交点的横坐标即为对应二次方程的实数根。此种对应关系也可以类比到任意函数若函数f(x)的图象与x轴有交点，则：函数图象与x轴交点的横坐标即为对应方程的实数根，也就我们今天要学习的函数的零点（之所以称为零点是因为其函数值等于零）你能根据自己的理解给函数的零点下一个定义吗？零点的定义：对于函数y=f(x)，我们把使得f(x)=0的x叫做函数的零点。•根据函数f(x)=x2-2x-3图像说出函数的零点•函数f(x)=x2-2x-3的零点为-1、3108642241510551015ofx()=x22∙x33-1xy•关于零点的说明：•（1）函数的零点并不是点，而是实数；•（2）函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标；•（3）函数y=f(x)有零点<=>函数y=f(x)的图像与x轴有交点<=>方程f(x)=0有实数根•思考：函数f(x)=x2-2x-3在[5，10]上有零点吗？108642241510551015ofx()=x22∙x33-1xy•从上面的例子可以得出，函数是否存在零点不仅与函数解析式有关，还与给定的区间有关。现在我们就一起来探究函数在给定区间上存在零点的条件：•请分别用一条连续不断的曲线连接以下四个图象中的A、B两点（作出的曲线是一段函数图象）BABAbababaBABAba(1)(2)(3)(4)f(a).f(b)<0f(a).f(b)>0xxxx•函数在区间（a,b)上一定存在零点应该满足什么条件呢？•零点存在性定理：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）∙f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的实数根．•零点存在性定理的辨析:•（1）零点存在性定理的两个必备条件：函数图象在[a，b]是连续不断的；f(a).f(b)<0•（2）满足零点存在性定理的函数在（a，b）上至少有一个零点；•（3）单调函数在定义域内至多有一个零点；•（4）零点存在性定理是有局限性的，若f(a).f(b)>0并不能说明函数在（a，b）就不存在零点例4：探究函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数解：法一（利用单调性及零点存在性定理求解）对数函数y=lnx与一次函数y=2x-6同为（0，+）上的增函数，于是函数f(x)也是（0，+）上的增函数，函数f(x)=lnx+2x-6至多有一个零点，又f(1)=-4<0，f(3)=ln3>0，于是f(1).f(3)<0，由零点存在性定义可知函数在（1,3）上存在零点，综上所述，函数仅有一个零点。思路：结合函数的单调性探索是否存在一个区间[a,b]，使得f(a).f(b)<0•法二：（转化为两函数的交点问题）记y1=lnx，y2=-2x+6,在同一直角坐标系中作出两函数的图象，观察交点的个数864224615105510151oy=2∙x+6y=lnx()•小结：•1.什么是零点•2.函数与方程的关系•3.零点存在性定理怎样表述•4.零点存在性定理是不可逆的