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3.2.2同角三角函数之间的关系VIP免费

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同角三角函数关系式角的终边上的任意一点P(x,y),点P到原点的距离为r,任意角三角函数定义:rxrOP22xy角的余弦.cos角的正弦.sinry角的正切.tanxy角终边xyP(x,y)Or正弦“上”为正,余弦“右”为正,正切“一三”正在单位圆中,角α的终边OP与OM、MP组成直角三角形,|MP|的长度是正弦的绝对值,|OM|的长度是余弦的绝对值,|OP|=1,根据勾股定理得NMPyxO222OPOMMPcos,sinOMMP将代入可得:1cossin22同角三角函数的基本关系式:sintan,cos22sincos1,注意事项:2.公式中的角一定是同角,否则公式可能不成立.如sin230º+cos260º≠1.3.同角不要拘泥于形式α,,6α等等都可.2如sin24α+cos24α=1.1.只有当α的取值使三角函数有意义时,上面恒等式才成立.(1)当我们知道一个角的某一个三角函数值时,可以利用这两个三角函数关系式和三角函数定义,求出这个角的其余三角函数值。同角三角函数关系式的应用:(2)此外,还可用它们化简三角函数式和证明三角恒等式。分析:由平方关系可求cosα的值,由已知条件和cosα的值可以求tanα的值,例1已知,且α在第三象限,求53sincostan和解:∵sin2α+cos2α=1,α是第二象限角.54531sin1cos2243cossintan为第三或第四象限角解:,0sin43tan54sin1cos43tan54sin1cos1cossin2222在第四象限时,当在第三象限时,当得,由变式:.tancos,53sin和求已知53sin,54,2516cos1cossin,cos43sin43tan,cossintan222cos是第二象限的角所以又因为得代入得解:由正弦值和余弦值。的求角是第二象限的角,,且已知43-tan例2、例3.已知sinα-cosα=,180º<α<270º.求tanα的值。55解:以题意和基本三角恒等式,得到方程组225sincos5sincos1消去sinα,得5cos2α-cosα-2=0,5由方程解得cosα=255或cosα=55因为180º<α<270º,所以cosα<0,即cosα=55代入原方程组得sinα=255于是tanα==2.sincos变式:已知求的值,51cossincossin.例4解:tan3已知,4sin2cos1;5cos3sin()22(3)2sinsincos3cos.1()原式4tan253tan5.7求下列各式的值:21(2);2cossincos432533(2)=原式222sincos2cossincos2tan12tan110.7(3)原式222tantan3tan1222333319.5222sinsincos3cos122222sinsincos3cossincos解:2222=2sinsincos3cos2(sincos)原式224sinsincoscos122=4sinsincoscos224tantan1tan12243313119.5练习:tan3已知,22(1)2sinsincos3cos2;求下列各式的值33sin2cos(2).cos3sin22224sinsincoscossincos857原式1sincos3已知,求下列各式的值:331(1)tan;(2)sincos.tan解:sincos1(1)tantancossin22sincoscossin1cossin1sincos3,由得21(sincos)9,4sincos,9112sincos9,91tan.tan433(2)sincos22(sincos)(sinsincoscos)(sincos)(1sincos)14(1)3913.27例5:例6.化简下列各式:211sin440();212sin20cos20.()解:211sin440()21sin(36080)21sin802cos80cos80.212sin20cos20()2(sin20-cos20)oo|sin20cos20|22sin20cos202sin20cos20|cos80|cos20sin20.:证法1xxxxcossin1sin1cos求证:1sin0cosxx知,由01sinx即)sin1(sin1)sin1(cosxxxx)(左边xxx2sin1)sin1(cosxxx2cos)sin1(cosxxcossin1右边.原等式成立例7小结:1.已知一角的某一三角函数值,求其它的三角函数值2.三角函数式的化简求值3.三角恒等式的证明

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