第一讲勾股定理模块1、常见勾股数及辅助线例1．（1）如图，下列未知边的长度分别是、、。（2）如图，下列图形的面积分别是、、。解：（1）应用勾股定理：第1个直角三角形中两条直角边分别是3和4，所以斜边长为5；第2个直角三角形中斜边长为13，一条直角边长为5，所以另一条直角边的长为12；第3个直角三角形中，斜边长为25，一条直角边长为24，所以另一条直角边的长为7。（2）第1个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为8，另一条直角边长为6，所以三角形的面积是186242；第2个直角三角形的斜边长为1.3，一条直角边长为1.2，另一条直角边长为0.5，所以三角形的面积是11.20.50.32；第3的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为2和1.5，它的面积是S1=1.5，斜边长为2.5，大直角三角形的斜边是6.5，一条直角边长为2.5，所以另一条直角边长为6，面积S2=12.567.52，于是面积等于S1+S2=9.例2．（1）如左图，梯形的周长为，面积为；如右图，梯形的周长为，面积为；???2524135431081.31.20.61.51.21.320221016122022100.60.50.90.61.51.21.36.51.52（2）下图的梯形ABCD的对角线AC和BD相互垂直，已知AD=3，AC=9，BD=12，则BC的长度为。解：（1）如图，平移得到直角三角形，斜边为20，一条直角边长为12，所以另一条直角边长为16，于是周长=20+10+16+22=68，面积=116(1022)2562；第2个图中，做出两条高线，得到两个直角三角形，求得两条直角边长分别为0.5，0.9，于是梯形的下底长为0.5+0.6+0.9=2，梯形的周长=0.6+2+1.3+1.5=5.4，面积=11.2(0.62)1.562。（2）如图平移AC到DE，连结CE，CE=AD=3，DE=AC=9，在直角三角形BDE中，BD=12，DE=9，所以斜边BE=15，解得BC=BE-CE=15-3=12。模块2、勾股定理及其重要模型例3．（1）以直角三角形ABC的三边向外做三个正方形，正方形内的数代表正方形的面积，求未知正方形的面积为。（2）下面的图形是以直角三角形ABC的三边为直径向外做半圆得到，半圆内的数表示所在半圆的面积，求未知半圆的面积为。解：（1）AB2=3，BC2=14，所以AC2=3+14=17；DCBA1293ECBADCBA?143157?（2）最小的半圆面积等于2r12=7，第二个半圆面积等于2r22=15，所以最大的半圆的面积等于2(r12+r22)=7+15=22.例4．（1）下图是由两个直角三角形构成，求问号处的边长是。（2）下图是由一个两条直角边长都是1的直角三角形向外做直角三角形得到的，形成一共一个美丽的螺旋图案，第8个直角三角形的斜边长是；如果一直螺旋下去，第个直角三角形的斜边长是10.解：（1）由勾股定理，下面的直角三角形的两条直角边长分别为1、2，斜边的平方=1+4=5，这样上面的直角三角形的两条直角边的平方分别是5、4，它们的和等于9，所以问号处的边长等于3.（2）最小的直角三角形的斜边长的平方,等于2，第2个直角三角形的斜边的平方等于3，第3个直角三角形的斜边的平方等于4，⋯⋯，第8个直角三角形的斜边的平方等于9，斜边长等于3，第n个直角三角形的斜边的平方等于102=100，所以这是第99个直角三角形。例5．（1）某直角三角形三条边长都是整数，其中一条直角边长是8，求另外两条边的长度分别为和。（2）某直角三角形的一条直角边长为6，周长是15，求它的面积为。（3）如图，长方形ABCD的长是5，宽是1，现将长方形的右下角折到左上角，三角形ABM的面积是。解：（1）设斜边长为a，另一条直角边的长为b，所以a2-b2=64，得64=(a+b)(a-b)，64=26，又a+b、a-b都是整数，且a+b与a-b同奇同偶，221?1111111111NMDCBA5所以可以是322abab，或164abab，解得1715ab或106ab。（2）直角三角形的一条直角边长为6，周长是15，设斜边为a，则另一条直角边是9-a，得2236(9)aa，解得a=6.5，9-a=2.5，所以三角形的面积=162.57.52；（3）设BM=a，MC=5-a，AM=MC=5-a，在直角三角形ABM中，有勾股定理得AM2=AB2+BM2，得22(5)1aa，解得a=2.4，所以三角形ABM的面积=112.41.22。模块3有趣的路径问题例6．（1）如图是一个铁丝围成的长方体铁架，长、宽、高分别为7厘米、2厘米、3厘米，一只蚂蚁在A点，蚂蚁需要爬到B点处，如果只能沿着长方体的棱爬，最短路径是厘米。（2）如图是一个长方体木块，长、宽、高分别为9厘米、7厘米、5厘米，一只蜘...
