什么叫数学解题陕西师范大学数学系罗增儒邮编:710062电话:029-8530887213609297766E-mail：zrluo@snnu．edu．cn主题是：●什么是题；●什么是解题；●数学解题的基本过程；（四步骤）引例自行车问题第一、案例的呈现．例1-1一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶5000后报废，若安装在后轮则行驶3000后报废．如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少？（请用代数或算术等多种方法求解，求解后想想如何让学生也学会解）困难在哪里？（1）不清楚解题困难在哪里，反正读完题目之后就无从下手了．（2）感觉好像什么都不知道，总磨损量不知道，什么时候交换不知道，拿什么做等量关系不清楚，属于什么题型不清楚．（3）理不清题目的条件是什么．特别是自行车的“前轮”“后轮”把“甲乙两个轮胎”与“自行车前后两个位置”交叉在一起，理不清“自行车的前轮后轮”的数学含义是什么．（参见图2）（4）理不清题目的结论是什么．表面上，结论是求“一对新轮胎行驶多少”写得很清楚，但这与“交换”前、后轮胎有关，并且“交换”好像是实质的，否则，怎能“使一辆自行车的一对新轮胎同时报废”呢？（解题的干扰因素）如果你不能求解，没关系，请先做第2题．例1-2一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前半段、乙工程队干半后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？（属于什么题型？中途交换如何处理？思考练习1分钟）如果你能求解第2题请返回做第1题；如果你也不能求解第2题，没关系，请先做第3题：例1-3一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？（中途交换去掉了，属于什么题型？）如果你能求解第3题，请返回做第2、第1题；如果你不能求解第3题，请看第4题．例1-4一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？这是标准的工程问题了．你最终至少要用两个以上的解法完成第1题．再想一想有什么体会．第二、案例的分析案例分析1：关于解法．让我们从新开始，缺什么就设什么，有解法1：（方程解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行使1的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了、交换位置后走了，分别以一个轮胎总磨损量为等量关系列方程，有（方程组）两式相加，得③则（）．④（这是2009年初中数学联赛的参考答案）作为“怎样解题”任务是完成了，但作为“怎样学会解题”这只不过是新的开始——反思分析．反思1：当然，这个解法条理清晰，书写完整，答案正确，也不乏趣味性的技巧．特别是，这个解法对“用字母表示数”的运用很熟练，“缺什么设什么”、引进过渡性的字母，既有助于写出相关代数式、建立等量关系、列出方程，又“设而不求”（像化学反应中的催化剂），表现出解题的艺术．但也正是这些技巧会给我们的教学讲解和学生接受带来困惑，把所求的未知数设为两个未知数之和学生不太好理解，这是“怎样想到的”也不容易说清楚，这促使我们思考：能不能把题目处理得更好接受一些？首先，既然都只有辅助的作用，而①、②式的等量关系也被更实质性的③式代替了，那么，我们能不能一开始就抓住③式这个更本质的结构呢？事实上，不管甲轮胎还是乙轮胎作前（后）轮，磨损率是一样的，交换是非实质的（比如说打隧道是不是一定要在中间相遇？交换与不交换影响不影响工程量？），就是说，若设一对新轮胎可走，则一对轮胎在前轮走了，在后轮也走了，有（可以不列方程组，列方程就行了）解法2：（方程解法，去掉）设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行使1的磨损量为．又设一对新轮胎可走，则一对轮胎分别在前后轮各走了，有则（）．⑤说明1：如果说原解法更关注前轮、后轮两个“局部”的话，那么新解法则把前轮、后轮合起来作“整...
