函数y=ax+b+√c2-d2x2最值的几种求法VIP免费

函数y=ax＋b+最值的几种求法侯妹粜（武汉市京汉学校，湖北430012）在求函数最值的文章中，绝大多数是针对具体的函数而言，对同一类函数的一般形式的探讨较少，基于这种情况，本文谈谈函数y=ax＋b+（其中a、c、d为正实数）最值的几种求法。求函数y=ax＋b+（其中a、c、d为正数）的最值.解法一(用判别式求解)：由y=ax＋b+，得=y－ax－b，两边平方，整理，得（a2＋d2）x2－2a（y－b）x＋（y－b）2－c2=0因为关于X的方程有实数根，所以△=4a2（y－b）2－4（a2＋d2）〔（y－b）2－c2〕≥0，d2（y－b）2≤（a2＋d2）c2即≤y≤①由题意知，－，a＞0.所以y=ax＋b+≥ax＋b≥a·(－)＋b=②由①,②,得ymin=，ymax=.注:用这种方法求解，如果忽略了自变量的取值范围,就容易得出错误的答案ymin=.解法二(用三角函数求解)设u=dx，v=，则x=，原函数化为y=u＋v＋b且u2＋v2=c2（0≤v≤c）③再令u=c,v=csin,由题意知∈[0,π],则y=+csin＋b=sin()＋b(其中为锐角且=arctan)则∈[arctan,π+arctan]当sin()=1时,y取得最大值,即ymax=＋b=∵sinx在区间[π/2,π+arctan]上是减函数∴ymin=sin(π+arctan)＋b=·[－sin(arctan)]＋b=·[－]＋b=·[－]＋b=·(－)＋b=.解法三(构造平面向量求解):由③知y=u＋v＋b且u2＋v2=c2（0≤v≤c）令m=（，1），n=（u，v），则有y=mn＋b=∣m∣∣n∣＋b图1如图1，当n=OD时，m、n共线，此时y取得最大值.ymax=·c＋b=当n=OB时，此时y取得最小值.xyOxyOABCDvuymin=·c·COS∠BOD＋b=·c·(-COS∠AOC)＋b=·c·(-·)＋b=.解法四(构造截距求解):由③知u2＋v2=c2（0≤v≤c）,y=u＋v＋b.点（u，v）既在圆弧u2＋v2=c2（0≤v≤c）上，又在直线l:v=-u＋y－b上.由图2知,直线V=-u＋y－b过点B(－c,0)时截距y－b最小图2即ymin=(－c)＋b=当直线与圆弧相切时(设切点为E)截距y－b最大∵OE=c,tan=tan=∴sec2=1＋tan2=(为锐角)cos==∴ymax=b＋=.解法五（构造点到直线的距离求解）记d（Q，l）为圆弧u2＋v2=c2（0≤v≤c）上任一点Q到直线l：u＋v＋b=0的有向距离由d（Q，l）==（u＋v＋b），得xyxyEA-bGOBuFlvy=u＋v＋b=·d（Q，l）由图2知，点B到直线l的有向距离最小，点E到直线l的有向距离最大.∵cos==（由解法四知）∴OG=－∴ymax=·〔c－（－）〕=∵cos=cos（90°－）=sin=∴=∴OF=－∴ymin=·〔－－（－）〕=.参考文献：佘军仁，陈巧红.用构造法求根式函数最值注：高一、高二内容作者简介：侯妹粜（1966----），女,武汉市民族中学高级教师，硕士.