12-余弦定理教学设计VIP免费

凤凰高中数学必修5_教学设计1.2余弦定理教学目标：1.掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．教学重点：重点是余弦定理及其证明过程．教学难点：难点是余弦定理的推导和证明．教学过程：1.创设情景，提出问题．问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A，B两点间的距离（如图1）．请想办法解决这个问题．设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．2.构建模型，解决问题．学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C，然后量出AC，BC的长度，再测出∠ACB．△ABC是确定的，就可以计算出AB的长．接下来，请三位板演其解法．法1：（构造直角三角形）如图2，过点A作垂线交BC于点D，则｜AD｜＝｜AC｜sinC，｜CD｜＝｜AC｜cosC，｜BD｜＝｜BC｜－｜CD｜＝｜BC｜－｜AC｜cosC，所以，．法2：（向量方法）图1AB图2DACB图3CBA凤凰高中数学必修5_教学设计如图3，因为，所以，即．法3：（建立直角坐标系）建立如图4所示的直角坐标系，则A（｜AC｜cosC,｜AC｜sinC），B（｜BC｜,0），根据两点间的距离公式，可得，所以，．活动评价：师生共同评价板演．3.追踪成果，提出猜想．师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边长，则有成立．类似的还有其他等式，，．正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯．学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C进行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等．4.探幽入微，深化理解．问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？图4yxACB凤凰高中数学必修5_教学设计学生活动：勾股定理是余弦定理的特例．反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C为锐角或钝角时，边长之间有不等关系，；是边长a、b、c的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）．问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”．学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即．5.学以致用，拓展延伸．练习：1．在△ABC中，若a＝3，b＝5，c＝7，求角C．2．（1）在△ABC中，若，解这个三角形．（2）在△ABC中，，求a．学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形式；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决．思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．