平面曲线的切线与法线VIP免费

返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在本节中所讨论的曲线和曲面,由于它们的方程是以隐函数(组)的形式出现的,因此在求它们的切线或切平面时,都要用到隐函数(组)的微分法.§3几何应用一、平面曲线的切线与法线二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、平面曲线的切线与法线曲线L：(,)0;Fxy()(());yyxxxy或0000()()()xyyyFPFPxx000(,)PxyL为0P在条件：上一点,近旁,F满足隐函数定理条件,可确定可微的隐函数:处的切线：0LP在0000()()().yxxxFPFPyy或返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页总之,当00((),())(0,0),xyFPFP时就有0000000000:((),());:()()()()0;(1):()()()()0.xyxyyxnFPFPFPxxFPyyFPxxFPyy法向量切线方程法线方程例1求笛卡儿叶形线332()90xyxy0(2,1)P在点处的切线与法线.33(,)2()9.Fxyxyxy解设由§1例2的讨论近旁满足隐函数定理0(3),2aFP这里在点返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的条件.容易算出00((),())(15,12),xyFPFP于是所求的切线与法线分别为15(2)12(1)0,5460;12(2)15(1)0,45130.xyxyxyxy即即2:sin0Lxyxy例2用数学软件画出曲线3230(,)P的图象；并求该曲线在点处的切线与法线.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解在MATLAB指令窗内执行如下绘图指令:symsx,y;ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);就立即得到曲线L的图象(见本例末页).令容易求出:2(,)sin,Fxyxyxy00323030()(2cos)2,()(1cos)1.xPyPFPxyxyFPxxy返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此得到L在点处的切线与法线分别为：0P2222(2)()(1)()0,(1)()(2)()0.xyxy3333333333若在上面的MATLAB指令窗里继续输入如下指令,便可画出上述切线与法线的图象(如图).holdon;a=(pi)^(1/3);b=a^2;ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b));ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页L0P返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页22:2220,LAxBxyCyDxEyF0000()AxxByxxyCyy00()()0.DxxEyyF000000()222,()222.xyGPAxByDGPBxCyE则有例3设一般二次曲线为000(,).PxyL0P试证L在点处的切线方程为22(,)222,GxyAxBxyCyDxEyF令证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页000()()AxByDxx000()()0,BxCyEyy0000()AxxByxxyCyy00()()0.DxxEyyF22000000(222),FAxBxyCyDxEy由此得到所求切线为利用满足曲线L的方程,即00(,)xy整理后便得到返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、空间曲线的切线与法平面(),(),,xxtyytt00000000()(),.()()()ytxxyyyyxxxtxtyt或先从参数方程表示的曲线开始讨论.在第五章§3已学过,对于平面曲线00000(,)((),())Pxyxtyt若是其上一点,则曲线0P在点处的切线为下面讨论空间曲线.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(A)用参数方程表示的空间曲线::(),(),(),.Lxxtyytzztt0000000(,,)((),(),()),PxyzxtytztL若且有000000:.(2)()()()xxyyzzxtytzt222000()()()0,xtytzt0P类似于平面曲线的情形,不难求得处的切线为0P过点且垂直于切线的平面,称为曲线L在点处的法平面.0P返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页000000()()()()()()0.(3)xtxxytyyztzz(,,)0,:(4)(,,)0.FxyzLGxyz因为切线的方向向量即为法平面的法向量,所以法平面的方程为(B)用直角坐标方程表示的空间曲线：设近旁具有连续的00000(,,);,PxyzLFGP在点一阶偏导数,且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页0(,,)(0,0,0),xyyzzxPJJJ(,)(...