第六讲_数列的概念VIP专享VIP免费

第六讲数列的概念1.数列的概念；按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第项,…,排在第位的数称为这个数列的第项.注:从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别.2.数列的记法数列的一般形式可以写成:,可简记为.其中是数列的第项.3.数列的通项公式如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.注:(1)一个数列的通项公式有时不唯一.如,它的通项公式可以是,也可以是.(2)通项公式的作用:①求数列中的任意一项;②检验某数是不是该数列中的项,并确定是第几项.4.数列的本质从函数的观点看,数列可以看作一个定义域是正整数集(或它的子集)的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立点.由于函数有三种表示法,所以数列也有三种表示法:列表法、图象法和通项公式法.通常用通项公式法表示数列.5.数列的分类(1)按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列.项数有限的数列叫做有穷数列;项数无限的数列叫做无穷数列.(2)按数列的每一项随序号的变化趋势,分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.一个数列从第项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;一个数列从第项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;各项相等的数列叫做常数列;一个数列从第项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.6.递推公式已知数列的第一项(或前几项),且任一项与它前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.注:已知数列的递推公式时,采用逐次代值法,可以求出数列的其它项值.类型之一：由数列的前几项写出数列的通项公式.相关链接：观察、分析项的特点，归纳出项与项数的关系、规律.例1.根据下列各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）1，，，，，…；（2），，，，，，…；（3）7，77，777，7777，…；（4）1，3，7，15，31，…1类型之二：数列最大项、最小项问题.相关链接：（1）比较法；（2）利用函数的单调性（3）若an最大，则满足例2.已知.试问：数列中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由.类型之三：利用Sn与an的关系求通项.相关链接：an=例3.已知数列的前n项和Sn=,求数列的通项公式an.类型之四：由递推数列求通项公式.由递推公式求通项公式的常用方法：叠加法，叠乘法，周期法，归纳猜想法，迭代法，取倒数法，取对数法，构造法等（1）叠加法：形如an+1-an=f(n)且f(n)的前n项和易求,常用当____________________当例1.数列{an}中,a1=2,an+1=an+.求通项an叠乘法:形如=f(n)(常数或等比qn,或等)且f(n)的前n项积易求：常用当___________________________当例2.设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0,求通项an2(3)周期法：若数列满足则非零常数T是数列的周期。例3.在数列中，an+1=an+(n,且，则(4)归纳猜想法：一般用于填空和选择题例4.已知数列{an}中,a1=2,an=(n,则a20=_________.1.已知数列{an}满足a0=1，an=a0+a1+a2+…+an-1(n≥1)，则当n≥1时an等于_______2.已知数列{an}满足a1=1，,则a20=_________.3.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2,则a2003=__________.4.已知.则数列中最大项为_______,最小项为_______5.已知数列的前n项和Sn,满足求数列的通项公式an.6.已知数列{an}满足a1=1，a1a2…an-1an=(n≥2)，则an等于_______3