课时分层作业(十八)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为()A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号B[因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B.]2．已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是()A．m>nB．m
2，所以a－2>0.又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立)．即m∈[4，＋∞]，由b≠0得b2≠0，所以2－b2<2.所以22－b2<4，即n<4.所以n∈(0,4)，综上易知m>n.]3．下列不等式中正确的是()A．a＋≥4B．a2＋b2≥4abC．≥D．x2＋≥2D[若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误．取a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误．取a＝4，b＝16，则<，故C错误．由基本不等式可知选项D正确．]4．某厂产值第二年比第一年增长p%，第三年比第二年增长q%，又这两年的平均增长率为s%，则s与的大小关系是()A．s＝B．s≤C．s>D．s≥B[由已知得(1＋s%)2＝(1＋p%)(1＋q%)≤2＝2，于是1＋s%≤1＋.故s≤.]5．设M＝，N＝()x＋y，P＝3(x，y>0，且x≠y)，则M，N，P大小关系为()A．Mb>c，则与的大小关系是________．≤[因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0.≤＝.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以≤.]8．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat________loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．≤[因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，又a>0，所以a>1，因为t>0，所以≥，所以loga≥loga＝logat.]三、解答题9．设x>0，求证：x＋≥.[证明]因为x>0，所以x＋>0，所以x＋＝x＋＝x＋＋－≥2－＝.当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立．所以x＋≥.10．已知a，b，c为不全相等的正实数，则abc＝1.求证：＋＋<＋＋.[证明]因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，又因为a，b，c不全相等的正实数，所以＋＋<＋＋.[能力提升练]1．设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞qC[∵0＜a＜b，∴＞，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p.故p＝r＜q.选C.]2．给出下面四个推导过程：①∵a、b为正实数，∴＋≥2＝2；②∵x、y为正实数，∴lgx＋lgy≥2；③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；2④∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2.其中正确的推导为()A．①②B．②③C．③④D．①④D[①∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②虽然x、y为正实数，但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lgx或lgy是负数，故②的推导过程是错误的．③∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的．④由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．]3．若0＝，2ab＝2a(1－a)＝－2(a－)2＋<，所以a，，2ab，a2＋b2中最大的是a2＋b2.]4．已知函数f(x)＝x，a，b∈(0，＋∞)，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系是___________________________________________．C≥B≥A[≤≤≤，又∵f(x)＝x为减函数，∴f≥f()≥f，即C≥B≥A.]5．设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求证：loga(ax＋ay)＜＋loga2.[证明]∵ax＞0，ay＞0，∴ax＋ay≥2，又∵0＜a＜1，∴loga(ax＋ay)≤loga2＝logaax＋y＋loga2＝(x＋y)＋loga2.∵y＋x2＝0，∴loga(ax＋ay)≤(x－x2)＋loga2＝－2＋＋loga2≤＋loga2，又上式中等号不能同时取到，所以原不等式得证.34
