初中数学举一反三、探索新题有这样一道操作题：将6×4（单位：厘米）的小方格矩形纸，沿着格线剪去一个正方形后，剩下来的新图形的周长与这张矩形纸的面积在数值上相等，而且新图形的面积与这张矩形纸的周长在数值上也相等，那么剪去的正方形边长是多少？怎样剪法（试举一例）？分析与解因为矩形纸的面积是24平方厘米，周长是20厘米，据题意剪剩下来的新图形的周长应是24厘米，面积应是20平方厘米。所以剪去的正方形面积应是（24－20）=4平方厘米，可见这个正方形的边长是2厘米。由图1所示，剪去的正方形不可能剪在矩形纸的角上，因为剪剩下来的新图形的周长没有增加4厘米，所以剪去的2×2的正方形只能在矩形纸的一条边上，如图2与图3所示。经验算，两个图形的面积都是20平方厘米，周长都是24厘米。现在我们把上题改成下面更一般的问题：将m×n（单位：厘米）的小方格矩形纸，沿着格线剪去一个正方形后，剩下来的新图形的周长与这张矩形纸的面积在数值上相等，而且新图形的面积与这张矩形纸的周长在数值上也相等，那么剪去的正方形的边长是多少？这张矩形纸可能有几种规格？试各举一种符合题意的剪法。分析与解设剪去的正方形的边长是x厘米，根据上题的解法，可以知道剪去的正方形不能剪在矩形纸的角上，只能剪在矩形纸的一条边上。注意到，剪剩下来的新图形（如图4）的面积应是，周长应是，根据题设条件可得如下两个等式：图4由①＋②得，经整理得，所以（舍去），这就是说，剪去的正方形边长是2厘米；将x=2代入②式，经整理得，于是③，因为m,n都是正整数，所以由③式及题意可知也都是正整数，所以有或或，由此可以解得：。这就是说，共有两种规格的小方格矩形纸6×4，10×3。对6×4的剪法，见图2，3。对10×3的剪法，见图5。图5
