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初中数学举一反三、探索新题 学法指导 不分版本 试题VIP免费

初中数学举一反三、探索新题 学法指导 不分版本 试题_第1页
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初中数学举一反三、探索新题 学法指导 不分版本 试题_第2页
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初中数学举一反三、探索新题有这样一道操作题:将6×4(单位:厘米)的小方格矩形纸,沿着格线剪去一个正方形后,剩下来的新图形的周长与这张矩形纸的面积在数值上相等,而且新图形的面积与这张矩形纸的周长在数值上也相等,那么剪去的正方形边长是多少?怎样剪法(试举一例)?分析与解因为矩形纸的面积是24平方厘米,周长是20厘米,据题意剪剩下来的新图形的周长应是24厘米,面积应是20平方厘米。所以剪去的正方形面积应是(24-20)=4平方厘米,可见这个正方形的边长是2厘米。由图1所示,剪去的正方形不可能剪在矩形纸的角上,因为剪剩下来的新图形的周长没有增加4厘米,所以剪去的2×2的正方形只能在矩形纸的一条边上,如图2与图3所示。经验算,两个图形的面积都是20平方厘米,周长都是24厘米。现在我们把上题改成下面更一般的问题:将m×n(单位:厘米)的小方格矩形纸,沿着格线剪去一个正方形后,剩下来的新图形的周长与这张矩形纸的面积在数值上相等,而且新图形的面积与这张矩形纸的周长在数值上也相等,那么剪去的正方形的边长是多少?这张矩形纸可能有几种规格?试各举一种符合题意的剪法。分析与解设剪去的正方形的边长是x厘米,根据上题的解法,可以知道剪去的正方形不能剪在矩形纸的角上,只能剪在矩形纸的一条边上。注意到,剪剩下来的新图形(如图4)的面积应是,周长应是,根据题设条件可得如下两个等式:图4由①+②得,经整理得,所以(舍去),这就是说,剪去的正方形边长是2厘米;将x=2代入②式,经整理得,于是③,因为m,n都是正整数,所以由③式及题意可知也都是正整数,所以有或或,由此可以解得:。这就是说,共有两种规格的小方格矩形纸6×4,10×3。对6×4的剪法,见图2,3。对10×3的剪法,见图5。图5

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