天津市静海县第一中学2017-2018学年高二数学4月学生学业能力调研测试试题1.（15分）函数()sincosfxaxxx，且()fx在4x处的切线斜率为28.(1)求a的值，并讨论()fx在[,]]上的单调性；(2)设函数1()ln(1)1xgxmxx(0)x，其中0m，若对任意的1[0,)x总存在2[0,]2x，使得12()()gxfx成立，求m的取值范围（3）已知函数23sin)(xxxh，试判断)(xh在),2(内零点的个数.2.(15分)已知函数()xfxeax，()aR的图象与y轴交于点A，曲线()yfx在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值；(2)证明：当0x时，2xxe；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在0x，使得当0(,)xx时，恒有2xxce静海一中2017-2018第二学期高二数学(4月)学生学业能力调研提高卷答案1.(15分)已知函数f(x)＝axsinx＋cosx，且f(x)在x＝处的切线斜率为.(1)求a的值，并讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；(2)设函数g(x)＝ln(mx＋1)＋，x≥0，其中m>0，若对任意的x1∈[0，＋∞)总存在x2∈[0，]，使得g(x1)≥f(x2)成立，求m的取值范围．[解析](1)∵f′(x)＝asinx＋axcosx－sinx＝(a－1)sinx＋axcosx，f′＝(a－1)·＋·a·＝，∴a＝1，f′(x)＝xcosx.当f′(x)>0时，－π0)，①当m≥2时，≥0，∴g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，即g(x)在[0，＋∞)上单调递增，又g(0)＝1，∴g(x)≥1在x∈[0，＋∞)上恒成立，故m≥2时成立．②当00时，x2ln2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，f(x)无极大值．(2)令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，因此，当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x20时，x20时，x21，要使不等式x2kx2成立．而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2lnx＋lnk成立．令h(x)＝x－2lnx－lnk，则h′(x)＝1－＝，所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增，又h(x0)＝16k－2ln(16k)－lnk＝8(k－ln2)＋3(k－lnk)＋5k，易知k>lnk，k>ln2,5k>0，所以h(x0)>0.即存在x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2
