北京市延庆区2020届高三数学第一次模拟考试（3月）试题本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数是正实数，则实数的值为（A）（B）（C）（D）（2）已知向量，，若与方向相同，则等于（A）（B）（C）（D）（3）下列函数中最小正周期为的函数是（A）（B）（C）（D）（4）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（A）（B）（C）（D）1正（主）视图1侧（左）视图俯视图（5）某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为，则它的表面积为（A）（B）（C）（D）（6）的展开式中，的系数是（A）（B）（C）（D）（7）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于（A）（B）（C）（D）（8）已知直线，平面，，，，那么“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）（A）年（B）年（C）年（D）年（10）已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且，则的面积为（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知集合，且，则的取值范围是．（12）经过点且与圆相切的直线的方程是．（13）已知函数，则．（14）某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出种商品，第二天售出种商品，第三天售出种商品；前两天都售出的商品有种，后两天都售出的商品有种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天售出的商品至少有种.（15）在中，，是边的中点.若，，则的长等于；若，，则的面积等于.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）如图，四棱锥的底面是正方形，，，是的中点，平面，是棱上的一点，平面.OEDACBP（Ⅰ）求证：是的中点；（Ⅱ）求证：和所成角等于.（17）（本小题14分）已知数列是等差数列，是的前n项和，，.（Ⅰ）判断2024是否是数列中的项，并说明理由；（Ⅱ）求的最值.从①，②，③中任选一个，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。（18）（本小题14分）A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：A班121313182021B班1111.512131317.520C班1113.5151616.51921（Ⅰ）试估计A班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.（19）（本小题14分）已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上存在最大值和最小值，求的取值范围.（20）（本小题15分）已知椭圆的左焦点为，且经过点，分别是的右顶点和上顶点，过原点O的直线l与交于两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l的方程；（Ⅲ）若BOP的面积是ΔBMQ的面积的倍，求直线l的方程.（21）（本小题14分）在数列中，若，且（），则称为“J数列”.设为“J数列”，记的前项和为.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）证明：中总有一项为或.延庆区2019-2020学年度高三数学试卷评分参考一、选择题:（每小题4分，共10小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C2．D．3．D4．C5.B6．B7．A8.C9.B10.A二、填空题:（每小题5分，共5小题，共25分）11．；12.；13．；14．；15．.xAF1FyB10.考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率），...
