伪谱的定义、性质和计算近代数学选讲——伪谱引言:二十世纪九十年代以前，研究矩阵的传统工具是特征值(谱)，它们可以揭示线性和非线性系统的特征，包括稳定性、共振、矩阵迭代的可行性等，因此它们是数学学科的一个重要的标准工具。在计算数学方面，该问题的理论和数值计算也取得了很多成果。然而，在科学和工程应用中，人们经常遇到这样的现象:根据特征值或谱的性质所作的判断与许多观察的现象或数值结果不相匹配。究其原因，主要是这些问题所包含的矩阵往往是非正规的，甚至是高度非正规的。所以，特征值(谱)对分析非正规矩阵是一个不完美的工具。作为谱的自然延伸，伪谱是一个针对非正规系统的新工具。摘要:本文首先介绍了伪谱的定义及性质，然后介绍了经典的FOV方法来粗略地给出了伪谱范围的矩形界定，之后介绍了伪谱计算的两种方法，即随机扰动法和SVD方法，最后给出了伪谱的一个应用。关键字:伪谱定义及性质、矩形界定、伪谱计算记号及说明:HA文中所有矩阵均为定义在复数域上的阶方阵，表示矩阵的AnI共轭转置，表示相应阶的单位阵，，分别表示复数的实Re(z)Im(z)z部，虚部数值，表示以为中心，为半径的闭圆域。B(z,,)z,正文:伪谱的定义及性质伪谱的定义:n，nAA假定有矩阵，的谱是指矩阵的特征值的全体，可表示A,C如下:,(A),{z,C:det(zI,A),0},1(zI,A)我们知道，当z,,(A)时，是没有意义的。如果我们定义,1,1||(zI,A)||,，,||(zI,A)||。那么当有限而且非常大时，又会如何,这A就导致了伪谱最初的一个定义。给定,(A)，矩阵的伪谱(),,,,定义:,1,1,(A),{z,C:||(zI,A)||,,}，(1),等价地，伪谱也可以用扰动矩阵的特征值来定义:,(A),{z,C:z,,(A，E),||E||,,}，(2),AA也就是说，的伪谱是的任何一个扰动矩阵的特征值全体。,,,,AAz,,(A)为矩阵的一个伪特征值，简称的伪特征值。相称,,,应的，每一个伪特征值有一个特征向量(一般不唯一)，这样就导致了伪谱的第三种定义:n,(A),{z,C:||(A,zI)v||,,,，v,C,||v||,1}，(3),,1,1由于如果是2-范数，，定义(1)可||(zI,A)||,(,(zI,A))||,||min改为如下形式，即得伪谱的第四种定义:,(A),{z,C:,(zI,A),,}，(4),min这种表示在计算机上更为方便。容易证明，伪谱的上述四种定义是等价的。伪谱的性质:,，,,(A),,(,I，,A)性质1(线性性):对任意，成立。,,,,R,,||,||证明:分为两步来证:,(A，,I),,，,(A)先证:,,,1,1,(A，,I),{z,C:||(zI,(A，,I))||,,}由伪谱的定义(1)知，,,1,1,(A，,I),{z,C:||((z,,)I,A)||,,}即有，,,1,1,(A，,I),{(w，,),C:||(wI,A)||,,},,，,(A)令，则有，z,w，,,,,(,A),,,(A)再证:,||,||,,1,1,1由伪谱的定义(1)知，,,(A),{z,C:||(zI,,A)||,||,||,},,||||z,1,1,,(A),{z,C:||(I,A)||,,}即有，,,||||,,1,1令，则有，,,(A),{(,v),C:||(vI,A)||,,},,,(A)z,,v,,,||||,，,,(A),,(,I，,A)故有，。,,||,||0,,,,,(A),,(A)性质2(单调性):若，则有，并且,,,(A)，B(0,,,,),,(A),,证明:分为两部分来证:先证:若则有。,(A),,(A)0,,,,,,,E对任意的，由伪谱定义(2)知，存在一个矩阵()，z,,(A)||E||,,,使得，z,,(A，E)显然，又，则z,,(A)||E||,,,,z,,(A，E),从而有，。,(A),,(A),,0,,,,，则有,(A),,(A)，B(0,,,,)。再证若,,n对任意的z,,(A)，由伪谱定义(3)知，存在()，使得||u||,1u,C,~~~，对任意的满足，即。||(zI,A)u||,,z,B(0,,,,)||z||,,,,||zu||,,,,~~~从而，||((z，z)I,A)u||,||(zI,A)u，zu||,||(zI,A)u||，||zu||,,，,,,,,。A性质3:对任意矩阵都有,(A)，,,,(A),,,,0,,{z,C:|z|,,}，其中。,,,~~~,z,,(A)，,z,,，z(,,,(A),z,,)证明:，有，由于，即是z|z,,|,,~A，zI的特征值。~z,,(A)又由于由伪谱的定义(2)知，|zI|,,,,(A)，,,,(A)故,,。,,0,(A),,(A)矩阵伪谱是复平面上的一个闭子集，当时，有。0当足够小时，伪谱为其矩阵特征值周围的一个个联通闭区域。我们,A称每一个联通闭区域为伪谱的一个联通部分。如果矩阵有个不同mA的特征值，则至多有个不同的伪谱部分。m作为例子，我们取了一个3阶的上三角矩阵，225,,,,A,0i3,,,,00,1,,A当依次取值为0.05,0.1,0.3时，矩阵的伪谱依次有3,2,1个联通,,,部分，如图所示，图中仅仅画出的是其相应伪谱的边界曲线。随着...
