专题四立体几何与空间量6090.1233PABCPAABCPAABABCBCADEPBPCDEBCBCPACDPBADPACEADEP如图，在三棱锥中，底面，，，，点，分别在棱，上，且求证：平面；当为的中点时，求与平面所成的角的余弦值；【例】是否存在点，使得二面角——为直二面角？并说明理由．求直线与平面所成的角及二面角，解题的关键是找到所求的角及二面角的平面角，再解三角形，此题前两问属于常规解法，第三问出现探索问题：“是否存在？”，一般先假设其存在，再给予证明．.90..1PAABCPABCBCAACBCPAACABCPAC证明：因为底面，所以平面又，所以而，所以//1.21.11.2026DPBDEBCDEBCBCPACDEPACEDAEADPACPAABCPAABPAABABPADABRtABCABC因为为的中点，，所以又由知，平面，所以平面，垂足为点所以是与平面所成的角．因为底面，所以，，所以为等腰直角三角形，所以中，方法：在，21.22sin.24114cos1sin.4.//1344.BCABDEBCRtADEDAEADADDAEDAEADPACEADEPEDBCBCPACDEPAC所以所以，在中，故所以与平面所成的角的余弦值为假设存在一点，使得二面角为直二面角．因为，又由可知平面，所以平面.1330,0,10,1,0(0)4411331(0)()2228282AEPACPEPACDEAEDEPEAEPADEPADEPAEPCRtPACAEPCEPAABPBCDE因为平面，平面，所以，，所以为二面角的平面角．若二面角为直二面角，则在中，作，点即为所求．建立空间直角坐标系如图，设，则各点坐标分别为，，，，，，，，，，方法：，11331(0)()22882cos1.44ADAEDEPACDAEADAEADAEADAE����所以，，，，，．由平面可知即是所求二面角．所以〈，〉.330,0,10,1,0(0)4433(0,1)(,1)443.DyxPBCDxxExxxDEAEDEPEADEPPEAE如图所示，设点的轴坐标为则各点坐标分别为，，，，，，，，．因为，，当为直二面角时，22233(,1)4433()44390161640()7333()777AExxxPExxxAEPExxxxxxEE���由，，，，，得，解得或舍去，所以得，，，也就符合题意的明点说存在．在立体几何试题中，有些出现了折叠问题、割补问题，有些与函数、数列、三角函数等结合，有些也与解析几何相结合．但归根到底还是要抓好对立体几何基本知识的复习，才能应对各种各样的变化．【变式训练】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A-A1D-B的正弦值；(3)求点C到平面A1BD的距离．1111111111111111111..1.1.BCOAOABCAOBCABCABCABCBCCBAOBCCBBOBBCCODBCCCBOBDABBDABBAABABABABD取中点，连结，因为为正三角形，所以因为正三棱柱中，平面平面，所以平面连结，在正方形中，，分别为，的中点，所以，所以在正方形中，，所以方法：平面111111111114551222sin.4105452ABABGABDGFADFAFABABDAFADAFGAADBAADAFAGABAGAFGAF设与交于点，在平面中，作于，连结，由得，平面，所以，所以为二面角的平面角．在中，由等面积法可求得，，又因为，所以111111111111´´152261.3.1133332.2.232ABDBCDABCDCABDABDBCDBCDABDABDBDADABSSABCCBCABDdVVSdSSdSCABD中，，，所以，在正三棱柱中，到平面的距离为设点到平面的距离为，由得，，所以所以点到平面的距离为1111111111111...1,0,01,1,0(0,23)(0,03)1,1,220BCOAOABCAOBCABCABCABCBCCBAOBCCBBCOOOBOOOAxyzBDAAB�取中点，连结因为为正三角形，所以因为在正三棱柱中，平面平面，所以平面取中点，以为原点，，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，方法：，111111111111(1,23)2,1,0(1,23)22001430..()(1,13)0,,220ABBDBAABBDABBAABBDABBAABABDAADxyzADAA����所以，，，，．因为，，所以，所以平面设平面的法向量为，，．，，n1100030.203ADAAADAAyxyzyxz...
