第31讲考纲泛读高考展望①理解平面向量的概念，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．②理解向量加、减法及向量数乘运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．了解向量的线性运算性质及其几何意义．近几年的高考数学试题中，平面向量每年都考，题型多以填空题为主，有时也与三角函数、解析几何知识综合在一起以解答题形式进行考查，特别是向量的数量积的概念，几乎年年考查，估计今后几年仍然会保持这种命题趋势．考纲泛读高考展望③了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减法运算与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．④掌握平面向量的数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的平行或垂直关系．预计2012年的高考，一是考查平面向量的基本概念及运算，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直等问题；二是有可能出现以向量为工具，在三角函数、解析几何、数列等知识交汇点处命题的题目．考纲泛读高考展望⑤会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决某些简单的力学问题和其他一些实际问题．⑥理解复数的概念，如复数相等、共轭复数、复数与复平面内的点或向量的一一对应关系．⑦理解复数的四则运算，了解复数的几何意义.高考对复数知识的考查要求不高，多以填空题的形式考查复数的概念与复数的四则运算．因此，在考试中，应力求在与复数知识相关的小题中拿满分.平面向量的概念________||///1///.ABDCABCDababababbcacabbcac�下列各命题中，真命题的个数为．①若＝，则四边形是平行四边形；②若＝，则＝或＝－；③若＝，＝，则＝；④若，，则【例】【解析】①正确．②不正确，因为两向量相等必须大小相同且方向相同，模相等是向量相等的必要不充分条件．④不正确，当b＝0时，ac∥不一定成立．③正确．答案:2向量的相关概念较多，且容易混淆，所以在学习中要分清，理解各概念的实质．注意向量相等应满足的两个条件：①模相等；②方向相同．还要注意零向量的特殊性，尤其是判定向量共线时不要忽略零向量．【变式练习1】下列命题中正确的有_______.①单位向量都相等；②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且a与b同向，则a>b；④对于任意向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.④向量的线性表示2.DEABCABACMNDEBCBCBDDECEMN��如图所示，、分别是的边、的中点，、分别是、的中点．已知＝，＝，试用、分别表示、和【例】abab1//2121.211221122111.424DEBCDEBCDECECBBDDEMNMDDBBNEDDBBC���由三角形的中位知，故＝，即＝所以＝＋＋＝－＋＋＝－＋，＝＋＋＝＋＋＝【解析】－－＋＝－aabaababaab用已知向量来表示另外一些向量，是用向量解题的基本功，除综合利用向量的加、减法运算及数乘向量外，还需要充分利用平面几何中的一些定理．2.ABCDMNDCBCAMANABAD��平行四边形中，、分别为、的中点．已知＝，＝，试用，表示和【变式练习】cdcd11.2221232.1222322(2)(2)33ABADMNDCBCDMBNABNADMABAD���如图．设＝，＝，则由、分别为、的中点可得＝，＝在和中，可得，解得所以，＝－，＝－【解析】．ababadcabdbacbcddccd向量共线12332823abOAOAOAABCkkk�设，是两个不共线的非零向量．若＝－，＝＋，＝－，求证：、、三点共线；若＋和＋共线，求实数的例值．【】ababababab(3)(2()2(3)(3))2412ABBCABABBCABBCBABCabababababab���证明：因为＝＋－－＝＋，＝－－＋＝－－＝－，所以、共线．又、有公共【解析点，所以、、三】点共线．(2)因为8a＋kb和ka＋2b共线，所以存在实数λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.因为a与b不共线，所以，解得λ＝±2，所以k＝2λ＝±4.本题从正反两方面考查了向量共线的充要条件，即b与非零向量a共线，则必存在唯一实数λ，使b＝λa；若b＝λa(λ∈R...
