第七章三角函数7.2.3同角三角函数的基本关系式学习目标1.掌握同角三角函数的两个基本关系式：sin2α+cos2α＝1，.2.会利用基本关系式解决较简单的化简、求值、恒等式证明等有关问题.重点：同角三角函数基本关系式的推导及其应用.难点：同角三角函数的基本关系式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活的培养.知识梳理一、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1；（2）商数关系：＝tanα.语言表述：（1）同一个角的正弦、余弦的平方和等于1.（2）当（）时，同一个角的正弦和余弦的商等于的正切.（3）sin2α+cos2α＝1对一切都成立；＝tanα仅在（）时成立.注意：（1）这里的“同角”应作广义上的理解，如2与2、2α与2α、2α+3与2α+3是同角，即“同角”的概念与角的表达形式无关，如sin23α+cos23α＝1，sin2tan2cos2（α≠2kπ+π，k∈Z）恒成立.（2）sin2α是（sinα）2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的.(4)同角三角函数关系式的等价变形：①sin2α＝1-cos2α，sinα＝±21cos；②cos2α＝1-sin2α，cosα＝±21sin；③sinα＝cosα·tanα，cosα＝sintan；④1+tan2α＝21cos（cosα≠0）.二、同角三角函数的基本关系式的应用利用同角三角函数的基本关系的这两个公式，可以由已知的一个三角函数值求出同角的其余两个三角函数值，还可以进行同角三角函数式的恒等变换，化简三角函数式或证明三角恒等式.四、更多三角函数及关系式（拓展）如果P（x，y）是α终边上不同于坐标原点的任意一点，记r＝22xy，则r>0，此时（1）称为α的正割，记作secα，即secα＝；（2）称为α的余割，记作cscα，即cscα＝；（3）称为α的余切，记作cotα，即cotα＝.由上述定义可知，当α的终边在y轴上时，secα没有意义；当α的终边在x轴上时，cotα，cscα没有意义.正割、余割、余切也称为角α的三角函数.从上述定义可以看出，在各三角函数都有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即secα＝，cscα＝，cotα＝.另外，由于tan2α+1＝22sincos+1＝222sincoscos＝21cos＝sec2α，因此tan2α+1＝sec2α.类似地，还能得到cot2α+1＝csc2α.习惯上，人们经常借助如图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：图中六边形的每一条红色对角线上的两个元素之积为1，即cosαsecα＝1，sinαcscα＝1，tanαcotα＝1.每一个倒立的绿色正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2α+cos2α＝1等.一、利用同角三角函数的基本关系式求值1.已知角的某个三角函数值，求该角的其余三角函数值常考题型例1已知：sinθ＝a（a≠0），且tanθ>0.求cosθ，tanθ.【解】 tanθ>0，∴角θ的终边在第一或第三象限内，∴a≠±1.①若角θ的终边在第一象限，则sinθ＝a>0，且a≠1，cosθ＝21sin＝21a.∴tanθ＝sincos＝21aa.②若角θ的终边在第三象限，则sinθ＝a<0，且a≠-1，cosθ＝21sin＝21a.∴tanθ＝sincos＝21aa.点拨：同角三角函数基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，其最基本的应用是“知一求二”.知弦求值时，一般需要用到平方关系，应注意角的终边所在的象限，当角的终边所在的象限不确定时，要注意分类讨论.◆已知角α的某一三角函数值，求角α的其余三角函数值的方法1.若已知sinα＝m，可以先应用公式cosα＝±21sin，求得cosα的值，再由公式tanα＝sincos，求得tanα的值.2.若已知cosα＝m，可以先应用公式sinα＝±21cos，求得sinα的值，再由公式tanα＝sincos，求得tanα的值.3.若已知tanα＝m，可以先应用公式tanα＝sincos，得到sinα＝mcosα，再由公式sin2α+cos2α＝1，求得cosα＝±211m，sinα＝±21mm.训练题1.题已知sinα＝45，α∈（0，π），则tanα等于（）A.43B.34C.±34D.±432.［2019·广东深圳耀华实验学校高一期末］若α是第二象限角，且tan（π-α）＝12，则32cos＝（）A.32B.-...
