高三数学一轮复习(9.6 双曲线)课件VIP免费

§9.6双曲线基础知识自主学习要点梳理1．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫．这两个定点叫双曲线的，两焦点间的距离叫.双曲线焦点焦距集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是；(3)当时，P点不存在．ac标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点性质顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0,－a),A2(0，a)2．双曲线的标准方程和几何性质渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长性质a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)[难点正本疑点清源]1．双曲线中a，b，c的关系双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)，它的三边长分别是a、b、c.易见c2＝a2＋b2，若记∠AOB＝θ，则e＝ca＝1cosθ.2．双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a<|F1F2|，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值．(2)2a<|F1F2|.这两点与椭圆的定义有本质的不同：①当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；②当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；③当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；④当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在．3．渐近线与离心率x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为ba＝b2a2＝c2－a2a2＝e2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.－14解析由题意知a2＝1，b2＝－1m，则a＝1，b＝－1m.∴－1m＝2，解得m＝－14.2．双曲线方程：x2|k|－2＋y25－k＝1，那么k的取值范围是．(－2,2)∪(5，＋∞)解析由题意知(|k|－2)(5－k)<0，解得－25.3．若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为x3＋y＝0，则此双曲线的离心率为________．103解析渐近线方程为x3＋y＝0，∴ba＝13.又a2＋b2＝c2，从而ca＝103，即e＝103.4．双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±3xD．y＝±2xA5．已知双曲线x2－y23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为()A．1B.3C．3D．4B解析依题意得，双曲线的右焦点坐标是(2,0)，一条渐近线的方程是y＝3x，即3x－y＝0，因此焦点到渐近线的距离为2332＋1＝3.题型分类深度剖析题型一双曲线的定义例1在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线x225－y211＝1的左支上，则sinA－sinCsinB＝________.解析如图，由条件可知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12，又在△ABC中，有|BC|sinA＝|AB|sinC＝|AC|sinB＝2R，从而sinA－sinCsinB＝|BC|－|AB||AC|＝56.故填56.答案56探究提高在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化．本题从双曲线的方程中可以确定A、C就是双曲线的焦点，从而根据双曲线的定义可以确定△ABC的三边的关系，再巧妙应用正弦定理就可以轻松求解．变式训练1已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．9解析设右焦点为F′，由题可知F′坐标为(4,0)，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，|PF′|＋|PA|最小需P、F′、A三点共线，∴最小值即为4＋|F′A|＝4＋9＋16＝4＋5＝9.点评本题的关键是运用双曲线的定义将点P到左焦点距离转化为点P到右焦点距离解决．题型二求双曲线的标准方程例2根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．思维启迪：设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程．解方法一(...