高中数学 第四课柯西不等式与排序不等式课件 新人教A版选修4-5 课件VIP免费

第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc时,等号成立.定理1（二维形式的柯西不等式）:你能证明吗？推论22222222||abcdacbdabcdacbd为非负实数）。dcbabdacdcba,,,()()()(2向量形式：2222(,),(,)||||cos||||mabncdmnmnmnacbdmabncd����|||||||cos|||||||||||mnmnmnmnmn��2222acbdabcd||||||设α,β是两个向量,则当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.定理2:（柯西不等式的向量形式）xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)022122122222121)()(yyxxyxyx根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:观察定理３（二维形式的三角不等式）设，那么1212,,,Ryyxx22122122222121)()(yyxxyxyx例题例1.已知a,b为实数,证明：(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2.51102.yxx例2求函数的最大值例3.设a,bR∈+,a+b=1,求证411ba4)11)((baba注意应用公式：练习：22221.2x36,2112.1,|cossin|1yxyabab已知求证已知求证作业第37页,第1,5,6题二一般形式的柯西不等式2222221231232112233()()()aaabbbababab(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)222222212n12n21122(...)(...)(...)nnaaabbbababab二维形式的柯西不等式）:三维形式的柯西不等式）:n维形式的柯西不等式）:22222212n12n21122(...)(...)(...)nnaaabbbababab定理设nnbbbbaaaa,...,,,,,...,,,321321是实数，则当且仅当(i=1,2,…,n)或存在一个数k使得(i=1,2,…,n)时等号成立。以上不等式称为一般形式的柯西不等式。0ibiikba).,...,2,1,,()(...)()(......)()()(22222112222122221221221221222222212121niRyxyxyxyxyyyxxxzzyyxxzyxzyxiinnnn一般形式的三角不等式例1已知123,,,...,naaaa都是实数，求证：22221212n1(...)....naaaaaan2222abcd例2已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：>ab+bc+cd+da.例3已知x+2y+3z=1,求的最小值。222xyz例4：设a、b、c为正数且各不相等。求证：cbaaccbba9222)111)](()()[()111)((2accbbaaccbbaaccbbacba证明：9)111(2又a、b、c各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。例5若a>b>c求证：cacbba4114)11()11)](()[()11)((2cbbacbbacbbaca证明：∴cacbba411例6：若求证：Rcba,,23bacacbcba分析：左端变形∴只需证此式即可111bacacbcba)111)((baaccbcba29三排序不等式121121212121121111212222,...,.........................nnnnnnnnnnnnabcccbbabaababaabbacaababcbaaabbbacn定理（排序不等式，又称排序定理）设为两组实数是的任一排列，那么：当且仅当或时,反序和等，b于顺序和。反序和≤乱序和≤顺序和例1：有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要ti分，假定这些ti各不相同。问：只有一个水龙头时，应该如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？解：总时间(分）是10t1+9t2+…+2t9+t10根据排序不等式，当t1